Matematické Fórum

Artie7 · 15. 12. 2013 20:49

Zdravím!
Při svých přípravách na test jsem se zasekl u jedné úlohy, strávil jsem nad ní 2 hodiny a přeci jsem se nedokázal dohrabat správného výsledku, vím jen kolik tato úloha má vyjít. (Výsledky na zadní straně v učebnici.)
Takže budu vděčný za pomoc, pokud možno prosím obsahující i postup, aby jsem byl schopen podobnou úlohu v budoucnu vypočítat.

ÚLOHA:
V místnosti jsou čtyřnohé židle, trojnohé verpánky a všechny jsou obsazeny lidmi (po jednom).
Spočítali jsme všechny nohy v místnosti a bylo jich celkem 39. Kolik je tam židlí, verpánků a lidí?

gadgetka · 15. 12. 2013 21:12

$4x+3y +2\cdot (x+y) =39$
$6x+5y=39$

Aby rovnost platila, musí být:
$x = 4, y = 3$

4 židle, 3 verpánky, 7 lidí

Artie7 · 15. 12. 2013 21:22

Dobře děkuji, ale jak učiteli odůvodním, že jsem dosadil 4 a 3?
Jak vyjádřím "y" nebo "x" aby jsem klasicky dopočítal rovnici?

gadgetka · 15. 12. 2013 21:32

Šla bych na to logicky. Za x musíš dosadit takové číslo, aby rozdíl mezi 39 a šestinásobkem toho čísla bylo číslo dělitelné pěti. Dosadím jedničku, dostanu 33, nesedí, dosadím 2, dostanu 27, nesedí, dosadím 3, dostanu 21, nesedí, dosadím 4, dostanu 15, sedí, dosadím 6, dostanu 3, nesedí ... a sedmička už dosadit nelze, dostali bychom se do záporných čísel.
Pokud mne napadne ještě nějaké jiné řešení, dám vědět. :)

Honzc · 16. 12. 2013 09:08 — Editoval Honzc (16. 12. 2013 09:14)

↑ Artie7:
"Klasicky" dopočítat rovnicí to nejde.
Ale existuje finta, která to dopočítá skoro klasicky.
1. Musíš si uvědomit, že x i y musí být přirozená čísla. (to jsou čísla 1,2,3,4,5,...)
2. Z rovnice si vyjádříš tu neznámou, která má u sebe větší koeficient (u nás x)
Tedy $x=\frac{39-5y}{6}$
Aby x bylo přirozené číslo může čitatel nabývat hodnot pouze 6,12,18,24,30 (36 už ne, protože 39-5<36)
Označíme si tato možná čísla, třeba a
Potom budeme řešit rovnici $39-5y=a\Rightarrow y=\frac{39-a}{5}$ (y musí být opět přirozené číslo)
Aby číslo bylo dělitelné 5-ti musí končit buď číslicí 0 nebo číslicí 5
Protože číslo 39 je liché číslo a možná čísla a jsou sudá, je jejich rozdíl liché číslo a tedy tento rozdíl nemůže nikdy končit číslicí 0.
Potom tedy musí rozdíl $39-a$ končit číslicí 5
A protože při odečítání posledních číslic čísel (39, a) musí být poslední číslice rozdílu 5 musí být poslední číslice čísla a číslice 4 ( $9-4=5$ )
A teď už se jenom podíváš na možná čísla a a vybereš to, které končí číslicí 4
Takové číslo je pouze jedno a to číslo $a=24$
Po dosazení do rovnice dostaneme $y=\frac{39-a}{5}=\frac{39-24}{5}=3$ a $x=\frac{24}{6}=4$

Cheop · 16. 12. 2013 10:15 — Editoval Cheop (16. 12. 2013 10:17)

↑ Artie7:
Já to dělám takto:
$6x+5y=39$
1) od čísla 39 odečtu 6 - 39-6=33 - není dělitelné 5 (máme tam 5y)
2) od čísla 33 odečtu 6 - 33-6=27 - není dělitelné 5
3) od čísla 27 odečtu 6 - 27-6=21 - není dělitelné 5
4) Od čísla 21 odečtu 6 - 21-6=15 - je dělitelné 5

A tak dostávám: $x=4\\y=\frac{15}{5}=3$

PS: x je číslo, které je rovno kolikrát jsem odčítal a y je podíl zůstatku/koeficientu u y

Honzc · 16. 12. 2013 16:35

↑ Cheop:
Čau,
já to normálně dělám obdobně, ale chtěl jsem mu ukázat, že to jde i téměř "klasickým" řešením rovnice.
Vše je matematicky zdůvodněno a nemusí se nic zkoušet.

Cheop · 17. 12. 2013 06:49

↑ Honzc:
Zdarec, no jen jestli to žák ZŠ z Tvého (pěkného) výkladu pochopí.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2013 20:49

Slovní úloha řešena rovnicí

#2 15. 12. 2013 21:12

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

#3 15. 12. 2013 21:22

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

#4 15. 12. 2013 21:32

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

#5 16. 12. 2013 09:08 — Editoval Honzc (16. 12. 2013 09:14)

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

#6 16. 12. 2013 10:15 — Editoval Cheop (16. 12. 2013 10:17)

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

#7 16. 12. 2013 16:35

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

#8 17. 12. 2013 06:49

Re: Slovní úloha řešena rovnicí

Zápatí