Matematické Fórum

Kája2 · 17. 12. 2013 14:35

Ahoj, prosím Vás, mohl by mi někdo poradit, v čem dělám chybu při řešení tohoto příkladu? Mám určit $a\in \mathbb{R}$ tak, aby dimenze lineárního obalu skupiny vektorů $<(-3,a),(1,1),(3,a)>$ byla rovna dvěma. Postupoval jsem takto: $\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} -3 & a &\\ 1 & 1 \\ 3 & a \end{array} \right)$ a úpravami jsem dospěl k této výsledné matici (násobil jsem druhý řádek třemi a přičetl k němu první a poté jsem ke třetímu řádku přičetl první) $\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} -3 & a &\\ 0 & 3+a \\ 0& 2a \end{array} \right)$ a zde bych řekl, že dimenze lineárního obalu bude rovna dvěma pro $a=0\vee a=-3$ , ovšem ve výsledcích je uvedeno, že dimenze je rovna dvěma pro $a\in \mathbb{R}$ . kde dělám chybu?

Rumburak

↑ Kája2:

Ahoj. Tu matici bych si napsal ve tvaru

$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 ,& 1\\ 3 ,& a\\-3 ,& a\end{array} \right)$ , částečně provedená GEM z toho udělá $\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 ,& 1\\ 0 ,& a - 3\\ 0 ,&a+3\end{array} \right)$ .

Lin. prostor generovaný druhým a třetím řádkem má vždy dimensi 1 . Odtud plyne správnost oficiálního řešení.
Tvůj postup vede k témuž výsledku, avšak z té matice jsi ho nevyčetl, nalezl jsi pouze některá řešení.

Kája2 · 17. 12. 2013 16:21

↑ Rumburak:
děkuji moc ;-) a mohl bys mi, prosím, říci, kde mám tu chybu?Na první pohled to teďka nevidím.

Rumburak · 17. 12. 2013 16:41

↑ Kája2:

Chubu máš v nesprávném vyhodnocení situace.

V "Tvé" finální matici platí totéž co v té "mé" - poslední dva řádky generují prostor P(a), který vždy má dimensi 1, protože např.:
- bude-li jeden z těchto dvou vektorů nulový, pak druhý určitě nulový nebude ,
- budou-li oba nenulové, pak jeden každý z nich bude nenulovým násobkem zbývajícího.

Dále je zřejmé, že první řádek Tvé finální matice nepatří do prostoru P(a), takže řádkový modul celé finální matice
má dimensi o 1 vetší než prostor P(a).

Že finální matice má stejnou hodnost jako ta původní, je jasné.

Kája2 · 17. 12. 2013 17:43

↑ Rumburak:
Jo takto.Děkuji moc!! ;-)

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2013 14:35

Dimenze lineární obalu

#2 17. 12. 2013 16:12 — Editoval Rumburak (17. 12. 2013 16:23)

Re: Dimenze lineární obalu

#3 17. 12. 2013 16:21

Re: Dimenze lineární obalu

#4 17. 12. 2013 16:41

Re: Dimenze lineární obalu

#5 17. 12. 2013 17:43

Re: Dimenze lineární obalu

Zápatí