Matematické Fórum

mulder · 18. 12. 2013 13:02

Zdravím,
nevím si rady s tímto příkladem. Jsou zadány dvě rovniny a mám najít průsečnici a odchylku těchto rovin.
$\alpha :2x+6y-7z+21=0$ $\beta :4x+y+2z-36=0$ Děkuji za všechny rady, které napíšete.

Freedy · 18. 12. 2013 14:23

Odchylka rovin je dána jako odchylka jejich normálových vektorů:
$\cos \varphi =\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
normálové vektory vyčteš snadno z rovnic rovin.

Průsečnici spočítáš tak, že jednu z neznámých zvolíš jako parametr a zbylé dvě vyjádříš pomocí tohoto parametru. Výsledkem je tedy přímka:
Dejme tomu že si zvolíš parametr z=t

$2x+6y-7t+21=0$
$4x+y+2t-36=0$

Od dvojnásobku první odečteš druhou:
$11y-16t+78=0$ >>> vyjádříš ypsilon: $y=-\frac{78}{11}+\frac{16}{11}t$
Od první odečteš šestinásobek druhé:
$-22x-19t+237=0$ >>> vyjádříš x: $x=\frac{237}{22}-\frac{19}{22}t$

máš tedy parametrické vyjádření přímky v prostoru:
$x=\frac{237}{22}-\frac{19}{22}t$
$y=-\frac{78}{11}+\frac{16}{11}t$
$z=t,\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space t\in \mathbb{R}$