Matematické Fórum

mountdoom

Zdravím,
mám za úkol sestavit diferenciální rovnici elektrického obvodu (rezistor a kondenzátor v sérii bez zdroje napětí) a zjistit analytické řešení uc=f(t).

Vstupní hodnoty jsou:
R = 10 R
C = 40 F
u(0) = 2 V

Zatím se mi povedlo rovnici sestavit takto:

400*u´c(t) + uc(t) = 0

Pak jsem udělal charakteristickou rovnici, tj.

lambda = -1/400

Dále jsem se podle očekávaného tvaru řešení, který je
$uc(t) = c(t)*e^{-\frac{1}{400}*t}$

snažil počítat dál, ale zasekl jsem se v bodě

$400c'(t)*e^{-\frac{1}{400}*t}=0$

Kdyby pravá strana nebyla 0, tak je to snadné. Vydělím rovnici tak, abych měl na levé straně jen c´(t), zintegruji. Vypočítám integrační konstantu a je to, ale nevím, co mám dělat, když je tam 0.

Děkuji

mountdoom

jelena · 20. 12. 2013 00:14

Zdravím,

je to dost nepřehledné, jelikož není jasné kde $c$ je dolním indexem (alespoň si to tak představuji, např. $u_c(t)$ ). Zda je samotné sestavení rovnice (od počátku) je v pořádku, to jsem nekontrolovala, ale např. od tohoto kroku: $u_c(t) = c(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t}$ předpokládám, že následně je derivace levé a pravé strany:

$400c'(t)*e^{-\frac{1}{400}*t}=0$

ale $c(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t}$ se má derivovat jako součin (navíc obsahující složené funkce), to asi neproběhlo - tak? Zkusil bys ještě opravit dolní indexy a přidat komentář k citovanému kroku, děkuji.

mountdoom · 20. 12. 2013 09:56

Omlouvám se,

byl jsem v časové tísni, a tak jsem to napsal co nejrychleji a vynechal část postupu. Takže, abych vše uvedl na pravou míru.

$u_c(t)=c(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t}$
$u_c'(t)=c'(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t}+c(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t} \cdot (-\frac{1}{400})$

Dosadím do zadání

$400\cdot (c'(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t}+c(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t} \cdot (-\frac{1}{400}))+c(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t} = 0$

Zůstane mi tam

$400\cdot c'(t)\cdot e^{-\frac{1}{400}t}=0$

Ale už se mi povedlo tu úlohu vyřešit. Já vlastně zjišťuji, kdy je derivace c'(t)=0. To platí jen tehdy, když c(t) = K. Potom

$u_c(t)=K\cdot e^{-\frac{1}{400}t}$

Ze zadání vím, že

$u_c(0)=2 V$

To dosadím do rovnice a vyjde mi $K = 2$

Výsledek je tedy

$u_c(t)=2\cdot e^{-\frac{1}{400}t}$

Jj · 20. 12. 2013 11:20

↑ mountdoom:

Dobrý den, řekl bych, že by to mělo jít přehledněji:

$RC\cdot u'+ u = 0$
$u' = - \frac{u}{RC}$
$\frac{u'}{u}=- \frac{1}{RC}$
$\frac{du}{u}=- \frac{dt}{RC}$
$\int \frac{du}{u}=- \int \frac{dt}{RC}$
$\ln u = -\frac{t}{RC}+K$
$u = e^{-\frac{t}{RC}+K}= e^{-\frac{t}{RC}}\cdot e^K=K_1e^{-\frac{t}{RC}}$

Konstantu K1 určit z počátečních podmínek (t = 0, u = 2V):

$2 = K_1 \cdot e^0 \rightarrow K_1 = 2$

Takže výsledek:

$u = 2 e^{\frac{-t}{RC}}$ , RC = 400