Matematické Fórum

Vykradac123

Zdravim neviem si poradit s dokazovanim limity $\lim_{x\to 0 } \frac{sin x}{x}=1$
pomoze mi niekto ?

Brano · 20. 12. 2013 11:50 — Editoval Brano (20. 12. 2013 11:54)

to dost vyrazne zavisi od toho ako ste mali definovanu funkciu $\sin x$ , ale napr. ti staci dokazat, ze
pre $x>0$ plati $\sin x< x$ a tiez, ze $x<\tan x$ , pre $x\in (0,\pi/2)$ .

Freedy · 20. 12. 2013 11:53 — Editoval Freedy (20. 12. 2013 11:54)

L'Hospitalovo pravidlo

Vykradac123

Freedy- L Hospitalom sa to vypocita, ale tu limitu potrebujem dokazat
Brano- na internete som videl video, kde to bolo dokazane pomocou jednotkovej kruznice, ale vobec som tomu nerozumel

jarrro · 20. 12. 2013 16:16 — Editoval jarrro (20. 12. 2013 16:23)

pokiaľ ide o klasickú definíciu goniometrických fcií cez jednotkovú kružnicu tak z definície vidieť, že sin je nepárna funkcia teda podiel
$\frac{\sin{$x$}}{x}$ je párna funkcia z toho je jasné, že ak limita toho podielu v nule sprava existuje, tak exituje aj zľava a dané limity sa rovnajú stačí teda zistiť limitu v nule sprava. teda stačí uvažovať ako sa funkcia správa pre malé kladné hodnoty teda menšie ako $\frac{\pi}{2}$
pre také x je zrejme obsah pravouhlého trojuholníka s fialovou odvesnou menší ako obsah kruhového výseku a ten je menší ako obsah pravouhlého trojuholníka so zelenou odvesnou teda
$\frac{\sin{$x$}\cos{$x$}}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathrm{tg}{$x$}}{2}$
z toho klasickými úpravami nerovníc dostaneme
$\cos{$x$}<\frac{\sin{$x$}}{x}<\frac{1}{\cos{$x$}}$
teraz stačí použiť dvoch policajtov, pretože cos aj 1/cos majú v nule limitu sprava (aj zľava) rovnú jedna

Rumburak

↑ Vykradac123:

Ahoj.

Dokázat ten vzorec se dá různým způsobem, konec konců i korektní výpočet pomocí l'H. pravidla je důkaz.

Další známé postupy jsou

I.) pomocí rozvoje sinu v Maclaurinovu řadu,

II.) pomocí odhadů, k nimž se dospěje onou "metodou jednotkové kružnice":

úhlem velikosti $\alpha \in (0,\pi/2)$ (zakresleným obvyklým způsobem do soustavy souřednic) a jednotkovou kružnicí
se středem v jejím počátku jsou určeny

1) kruhová výseč $U$ se středovým úhlem $\alpha$ a poloměrem délky 1 ,
2) pravoúhlý trojúhelník $A$ s odvěsnami délek $\cos \alpha , \sin \alpha$ vepsaný do úseče $U$ ,
3) pravoúhlý trojúhelník $B$ s odvěsnami délek $1 , \tan \alpga$ opsaný úseči $U$ .

Porovnáním obsahů těchto obrazců (je zřejmé, že $A \subset U \subset B$ ) dostaneme pro uvažované $\alpha$ odhad

$\sin \alpha \cos \alpha < \alpha < \tan \alpha$ a z něj $\cos \alpha < \frac{\alpha}{\sin \alpha} < \frac{1}{\cos \alpha}$ ,

odtud pomocí věty o dvou policajtech se snadno určí limita pro $\alpha \to 0_+$ . Při výpočtu limity zleva pak
využijeme lichosti funkce sinus.

EDIT. Vidím, že mezitím už to náležitě vysvětlil kolega Jarrro, ale je mi líto mazat svoji půlhodinovou práci. :-)

jarrro · 20. 12. 2013 16:41 — Editoval jarrro (20. 12. 2013 16:46)

Rumburak napsal(a):
↑ Vykradac123:korektní výpočet pomocí l'H. pravidla je důkaz.

to záleží aj od toho ako sú definované sin a cos nie? ak radom tak to môže byť dôkaz ale ak cez jednotkové kružnice tak podľa mňa nie lebo práve pri odvodzovaní derivácie funkcie sin treba počítať dokazovanú limitu
resp. ako odvodíš, že derivácia funkcie sin je práve cos pri klasickej definícii cez jednotkovú kružnicu bez počítania tej dokazovanej limity ?pri definícii radom je to skoro triviálne (skoro preto, lebo treba použiť poznatky o radoch)

Rumburak · 20. 12. 2013 17:02

↑ jarrro:

to záleží aj od toho ako sú definované sin a cos nie? ...

Ano, to je samozřejmě pravda a díky za tuto připomínku.

Napadnutelný by konec konců mohl být i středošk. přístup ke g. f. pomocí jednotkové kružnice, protože se tam pracuje
s délkou oblouku křivky, která není přímkou, a obsahem obrazce ohraničeného takovou křivkou, aniž by byly tyto pojmy
náležitě vybudovány, jak na vyšší úrovni činí IP.

Vykradac123 · 20. 12. 2013 21:24

Ďakujem za pomoc

Brano · 21. 12. 2013 00:19

napr. ja som videl aj taku definiciu $\sin$ a $\cos$ , kde bolo povedane, ze to su take funkcie $f,g$ co splnaju, ze
1) su spojite diferencovatelne
2) $f'=g$ a $g'=-f$
3) $f(0)=0$ a $g(0)=1$
(dufam, ze som na nic nezabudol, aby sa dala dokazat jednoznacnost)

pri takejto definicii je pouzitie L'Hopitala uplne najjednoduchsie.

Rumburak · 21. 12. 2013 13:23

Zavést gon. fce lze i takto:

Nejprve pro $x \in \langle -1, 1 \rangle$ položíme

$h(x) := \sqrt{1-x^2} , A(x) := \int_0^x \sqrt{1 + {h'}^2(t)}\,\,\mathrm{d}t$ ,

"geometrický původ" těchto funkcí je jistě zřejmý.

Dokáže se, že funkce $A$ je bijekcí intervalu $\langle -1, 1, \rangle$ na $\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle$ , kde $\pi := \int_{-1}^1 \sqrt{1 + {h'}^2(t)}\,\,\mathrm{d}t$
je konečné kladné číslo.

Symbolem $S$ označíme funkci inversní k $A$ a rozvineme ji v Maclaurinovu řadu, o níž už nebude obtížné ukázat,
že jejím konvergenčním kruhem je celá komplexní rovina. Toto rozšíření funkce $S$ budeme považovat za funkci sinus.

Jde o postup sice možná trochu zdlouhavý (zejména pokud jde o rozvoj funkce $S$ ), ale řekl bych, že velmi přirozený.

Brano · 21. 12. 2013 21:59 — Editoval Brano (21. 12. 2013 22:40)

takato definicia sinusu je na vypocty dost nepouzitelna - tu by bolo asi najlepsie najst ten rozvoj (ako tam navrhujes) a pouzivat ten, co je potom prakticky to ise ako keby sa to definovalo priamo ako rad

Rumburak

↑ Brano:
Souhlasím, klíčovým krokem je dojít k té řadě.

Nejjednodušší je samozřejmě použít řadu už jako definici, ale "zvědavý divák" může položit všetečnou otázku "a proč právě TUTO řadu ?"
Odpovědím typu "že to tak je vhodné, se ukáže později", se v matematice asi nevyhneme, ale mně osobně se líbí, když jich je co nejméně.

Vykradac123 · 23. 12. 2013 10:09

Dakujem, ale nam prednasajuci vravel ze chce dokaz pomocou tej kruznice, nie cez rady (to sme nemali)

jarrro · 23. 12. 2013 11:05

↑ Vykradac123:veď už tu dávno je konkrétne ↑ tu:

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2013 11:09 — Editoval Vykradac123 (20. 12. 2013 11:11)

Limita - dôkaz

#2 20. 12. 2013 11:50 — Editoval Brano (20. 12. 2013 11:54)

Re: Limita - dôkaz

#3 20. 12. 2013 11:53 — Editoval Freedy (20. 12. 2013 11:54)

Re: Limita - dôkaz

#4 20. 12. 2013 13:20 — Editoval Vykradac123 (20. 12. 2013 13:24)

Re: Limita - dôkaz

#5 20. 12. 2013 16:16 — Editoval jarrro (20. 12. 2013 16:23)

Re: Limita - dôkaz

#6 20. 12. 2013 16:34 — Editoval Rumburak (21. 12. 2013 12:50)

Re: Limita - dôkaz

#7 20. 12. 2013 16:41 — Editoval jarrro (20. 12. 2013 16:46)

Re: Limita - dôkaz

Rumburak napsal(a):

#8 20. 12. 2013 17:02

Re: Limita - dôkaz

#9 20. 12. 2013 18:26 Příspěvek uživatele Sherlock byl skryt uživatelem Aktivní.

#10 20. 12. 2013 21:24

Re: Limita - dôkaz

#11 21. 12. 2013 00:19

Re: Limita - dôkaz

#12 21. 12. 2013 13:23

Re: Limita - dôkaz

#13 21. 12. 2013 21:59 — Editoval Brano (21. 12. 2013 22:40)

Re: Limita - dôkaz

#14 23. 12. 2013 09:11 — Editoval Rumburak (23. 12. 2013 10:41)

Re: Limita - dôkaz

#15 23. 12. 2013 10:09

Re: Limita - dôkaz

#16 23. 12. 2013 11:05

Re: Limita - dôkaz

Zápatí