Matematické Fórum

Skrytý text:
Tejto rovnici zjavne vyhovujú všetky usporiadané dvojice , kde , o čom sa možno ľahko presvedčiť.
Danú rovnicu si prepíšme na tvar
.
Uvažujme funkciu . Táto exponenciálna funkcia s nezávisle premennou x je rastúca pre všetky uvažované hodnoty y (ako sa možno presvedčiť), a prechádza bodom [0;1].
Funkcia je exponenciálna funkcia v premennej x "posunutá nahor" (prechádza bodom [0;2]) a môže byť rastúca alebo klesajúca v závislosti od hodnôt y.
V každom prípade sa graf funkcie z ľavej strany rovnice a graf funkcie z pravej strany rovnice pretnú nanajvýš v jednom bode, pre jednu hodnotu x, a keďže sme zistili, že hodnota x=2 vyhovuje pre všetky uvažované hodnoty b, musí mať priesečník grafov uvažovaných funkcií prvú súradnicu x=2.
Záver: Riešením rovnice sú všetky usporiadané dvojice , kde .

Skrytý text:
to je práve slabé miesto môjho dôkazu. Samozrejme, dve rastúce funkcie sa môžu pretnúť vo viacerých bodoch, ale dve exponenciály určite nie... Majú rovnaký "charakter rastu". Je to niečo, o čom som vnútorne silne presvedčená, ale neviem to dokázať...:(... Ide vlastne o to, že dve rôzne exponenciály sa pretínajú v jedinom bode, a posunutím jednej z nich sa na tom nič nezmení - spoločný bod nepribudne ani neubudne (iba bude mať iné súradnice)... hmm...