Matematické Fórum

petronius · 22. 12. 2013 09:15

Dobrý deň
Úvodom vám prajem pekné nastávajúce sviatky.Pokiaľ by si niekto našiel čas potreboval by som pomôcť s nasledujúcim príkladom:
Majme kyvadlo, na konci ktorého je guľa naplnená vodou. Perióda malých kmitov kyvadla je T1. Teraz znížime teplotu tak, že voda zamrzne. V akom pomere oproti pôvodnej bude nová perióda kmitov T2? Pre jednoduchosť neuvažujte teplotnú rozťažnosť, hmotnosť gule je zanedbateľná oproti hmotnosti vody.
Nie je mi jasné aký prístup mám zvoliť je mi však jasné že tam bude (aspoň myslím) vystupovať moment zotrvačnosti gule po zamrznutí.Ďakujem za pomoc.

zdenek1 · 22. 12. 2013 10:52

↑ petronius:
Není to úplně nejpřesněji zadané.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/05178_pic.png
Předpokládám, že se délka $l$ nemění a při zmrznudí se koule "nafoukne" ze středu (obrázek)
Perioda $T=2\pi\sqrt{\frac{J+ml^2}{mgl}}$ , kde $J=\frac25mr^2$ je moment setrvačnosti koule vzhledem k jejímu středu.

Nemění se ani hmotnost, takže
$m=\varrho _vV_1=\varrho_lV_2$
$\varrho _v\frac43\pi r_1^3=\varrho_l\frac43\pi r_2^3$
$r_2=r_1\sqrt[3]{\frac{\varrho_v }{\varrho_l }}$ (1), kde indexy označují vodu a led

Pak
$\frac{T_2}{T_1}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{\frac25mr_2^2+ml^2}{mgl}}}{2\pi\sqrt{\frac{\frac25mr_1^2+ml^2}{mgl}}}=\sqrt{\frac{2r_2^2+5l^2}{2r_1^2+5l^2}}$
kde za $r_2$ ještě můžeš dosadit z (1)

Potřebuješ znát parametry ( $l$ , $r_1$ ) původního kyvadla.

petronius

↑ zdenek1: Výsledok by mal byť http://www.fyzikazeme.sk/mainpage/stud_ … 0T%20Y.pdf príklad 7 keď sa neuvažuje teplotná rozťažnosť potom by polomer prvej a druhej gule mali byť rovnaké nie?Lenže potom by nám aj periódy vyšli rovnaké...Nie je možné považovať guľu najprv za hmotný bod a potom za teleso (guľu) s momentom zotrvačnosti keď zmrzne?Inak samozrejme že ďakujem za riešenie...čo sa týka nejednoznačnosti sme sa s cvičiacim zhodli že niektoré príklady z tej zbierky sú dosť nepresné.

Jj · 22. 12. 2013 12:35

↑ petronius:

Dobrý den, podle tvaru výsledku bych řekl, že zadavatel úlohy při stanovení T1 nepočítá
s momentem setrvačnosti koule naplněné vodou (tzn. asi uvažuje nulové tření mezi vodou a obalem koule - že "vodní koule" se při výkyvu neotáčí kolem osy, "prokluzuje" v obalu).
Taky zřejmě uvažuje stejný objem vody a ledu.
Pak by mělo vyjít něco podobného výsledku v odkazu.

zdenek1 · 22. 12. 2013 12:41

↑ petronius:
Poloměry nejsou stejné, protože prostě voda a led nemají stejnou hustotu, teplotní roztažnost s tím nemá co dělat. Teplotní roztažnost by ovlivnila délku závěsu a rozměry nádoby.

Vztah u řešení
$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{1+\frac{2}{5}\left(\frac rl\right)^2}$
je ekvivalentní
$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{5l^2}{2r^2+5l^2}}$
to znamená, že autor považuje vodu za kouli a led za hmotný bod. Proč, to nevím.

petronius · 22. 12. 2013 12:45

↑ Jj: Ďakujem za odpoveď.Už mi to je v takejto formulácii jasné.

Jj · 22. 12. 2013 12:48

↑ petronius:

Viz ovšem odpověď kolegy ↑ zdenek1: - jeho příspěvky beru ze zkušenosti
vždycky vážně.

petronius · 22. 12. 2013 12:55

↑ Jj: Hej je mi jasné že fyzikálne správnejšie riešenie je to uvedené...ale som rád že som pochopil ako sa dopracovať k výsledku (čo mal na mysli autor úlohy) v zbierke.Ja som to mal uvedené naopak (ľad je guľa a voda hmotný bod).V každom prípade vám obom ešte raz ďakujem.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2013 09:15

Kmity

#2 22. 12. 2013 10:52

Re: Kmity

#3 22. 12. 2013 11:05 — Editoval petronius (22. 12. 2013 11:21)

Re: Kmity

#4 22. 12. 2013 12:35

Re: Kmity

#5 22. 12. 2013 12:41

Re: Kmity

#6 22. 12. 2013 12:45

Re: Kmity

#7 22. 12. 2013 12:48

Re: Kmity

#8 22. 12. 2013 12:55

Re: Kmity

Zápatí