Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 18. 12. 2013 21:00
Cyklické podgrupy
Dobrý den,
mám hotový příklad a jediné, co mi chybí, je nalezení cyklických podgrup. Prosím, mohl by mi někdo poradit, jak se hledají? (Nepište mi prosím výsledek, chtěla bych to vyřešit sama.) Hledala jsem a nenašla, respektive něco jsem našla, ale nějak nevím, jak to aplikovat na tenhle příklad, kde jsou prvky matice.
Zadání: Je dána množina M = ( a b 0 ) : a, b, c patří do Z3, det A = 1. Z3 = {0, 1, 2}, počítáme modulo 3.
( 0 c 0 )
( 0 0 d )
Ukažte, že množina M s operací násobení matic je grupa. Grupu modelujte tabulkou. Najděte všechny cyklické podgrupy M.
Prvky grupy jsou tedy I = ( 1 0 0 ) , A = ( 1 1 0 ) , B = ( 1 2 0 )
( 0 1 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 1 0 )
( 0 0 1 ) ( 0 0 1 ) ( 0 0 1 )
Tabulka: . | I A B
________
I | I A B
A | A B I
B | B I A
Pak jsem ověřila vlastnosti grupy, ale s cyklickými podgrupami nemůžu hnout. :(
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) nanny1)
#2 18. 12. 2013 22:45
Re: Cyklické podgrupy
Ahoj ↑ nanny1:,
Tvoja grupa M ma tretiu zlozku 0.
Tak napr (0,0,1) nie je v tej grupe. ( i ked to ty predpokladas...)
Ak dobre rozumiem
M je vytvorena maticamy ktorych déterminant je 1.
Cize ich diagonala je
(1,1,1),(2,2,1),(1,2,2) alebo (2,1,2)
a prvok b ( podla déf. matic M) moze byt lubovolne cislo zo Z3
Tak mame do kopy 12 matic v 12.
Napis ci si pracovala z touto grupov?
Napis podrobnosti tvojho riesenia.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#3 18. 12. 2013 23:05
Re: Cyklické podgrupy
↑ vanok: Aha, on ten determinant může vyjít 4, protože 4 modulo 3 je 1? Tím pádem tam nemám zdaleka všechny prvky. Podrobnosti řešení... Zjišťovala jsem, jak se to má se součinem prvků a do tabulky jsem zapsala výsledky, pak jsem ověřila existenci jednotkového, inverzního, idempotentního prvku, uzavřenost operace, asociativitu násobení prvků.
Offline
#4 18. 12. 2013 23:17
Re: Cyklické podgrupy
Ale stacilo jednoduchsie ukazat, ze je to pod grupa matic typu. (3,3) v Z3... To je rychlejsie.
Tri cyklicke podgrupy radu 2 sa lahko vidia...
A su aj ine? Ako by si to overila?
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#5 18. 12. 2013 23:24 — Editoval nanny1 (18. 12. 2013 23:44)
Re: Cyklické podgrupy
No, já jsem právě moc nepochopila, co to ta cyklická podgrupa je. :( Našla jsem na netu nějaké definice, ale v praxi mi to není jasné. Mám tenhle předmět celý jako samostudium, mám i docela obavy, že jsem spoustu věcí pochopila špatně. Např. s tím determinantem, měla jsem zato, že výpočet provádím aritmetikou modulo, ale celkový výsledek už modulo není... Tak v tom mám asi pěknej guláš, determinant je suma všech permutací, pohybuju se na množině Z3, ale pořád mi vyjde počet permutací, nebo ne? Nechápu, proč by se determinant měl dělit třemi. Teď jsem z toho úplně zmatená. Nebo jste to myslel jinak?
Offline
#6 18. 12. 2013 23:48
Re: Cyklické podgrupy
Ano, to je trochu tazke to potom take veci riesit.
Tebe tu staci vediet, ze cyklicka grupa ma jeden generator.
To ti da iste myslienku ako na to.
Inac tu si pozri pre kontrolu, ako vyzeraju grupy radu 12
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#7 22. 12. 2013 18:18 — Editoval nanny1 (22. 12. 2013 18:19)
Re: Cyklické podgrupy
Pořád nevím, jestli to dobře chápu.. Vychází mi jeden prvek (jednotková matice) řádu 1, 7 prvků řádu 2, což jsou matice
(2 0 0), (1 0 0), (1 1 0), (1 2 0), (2 0 0), (2 1 0), (2 2 0) , dva prvky řádu 3 a to (1 1 0), (1 2 0)
(0 2 0) (0 2 0) (0 2 0) (0 2 0) (0 1 0) (0 1 0) (0 1 0) (0 1 0) (0 1 0)
(0 0 1) (0 0 2) (0 0 2) (0 0 2) (0 0 2) (0 0 2) (0 0 2) (0 0 1) (0 0 1)
a pak, pokud jsem neudělala početní chybu při násobení matic, mi vychází prvky (2 1 0), (2 2 0) řádu 6.
(0 2 0) (0 2 0)
(0 0 1) (0 0 1)
Myslíte, že je to možné? Nějak se mi to nezdá.. Asi radši ještě zkontroluju celou tabulku.
Offline