Matematické Fórum

Turmawen · 20. 12. 2013 00:26

Ahoj, umel by nekdo prosim poradit s nasledujicim? Potrebuje poradit muj pritel, kterej nemluvi cesky, takze jsem to prelozila z anglictiny, ale nevim presne, jaky je cesky ekvivalent pro manifold/submanifold. Dle toho, co jsem nasla, tak by to melo byt varieta/subvarieta, ale v tehle problematice se sama neorientuji, tak si opravdu nejsem jista. V zavorce proto uvadim i anglickou verzi.

Necht $U\subset \mathbb{R}^n$ je otevreny a $M\subset U$ je k-dimenzionalni subvarieta (submanifold). Pokud $A\subset M$ je otevrena, potom A je k-dimenzionalni subvarieta (submanifold). A ted se ptam: je-li $A\subset M$ kompaktni, je A subvarieta (submanifold) (predpokladam, ze ne)? Pokud ne, pak proc? Co by mohl byt protipriklad?

Moc dekuji za jakykoliv nazor, vysvetleni.

Brano · 20. 12. 2013 12:11 — Editoval Brano (20. 12. 2013 12:15)

Tu nie je jasne, ci v tej otazke sa mysli, ze $A$ je kompaktne a zaroven otvorene, alebo to druhe $A$ uz s tym prvym nema nic spolocne.

Ak je to tak, ze jediny predpoklad o $A$ je iba to, ze je to kompaktna podmnozina variety, tak to na to aby to bola varieta nestaci.

Trivialny priklad: $M=R$ - realna os - a $A=[0,1]$ je kompaktna podmnozina, ktora nie je varieta. Tam to kazi ta hranica. Tu by sa ale dalo stale hovorit o tom, ze $A$ je tzv. varieta s hranicou.

Trosku menej trivialny priklad: $M=R$ a $A=C$ - kantorova mnozina. Ta je uplne hnusna a na ziadnej jej podmnozine sa neda definovat lokalne euklidovska struktura - jedine ked tak nula rozmerna na diskretnej podmnozine, ale to je trivialny pripad. Ale cela kantorova mnozina urcite nie je varieta.

Turmawen · 23. 12. 2013 10:58

↑ Brano:

Moc dekuji za odpoved! Stale vsak mam otazku:

Souvisi se Stokesovou vetou. Ta rika: Necht $U\subset \mathbb{R}^n$ je otevreny a $M\subset U$ je k-dimenzionalni subvarieta. Je-li $A\subset M$ kompaktni, pak integral pres A podle dw je roven integralu pres HRANICI A podle w. Tato hranice je vzhledem k M. Takze pokud, napriklad, M samotne je kompaktni, pak ten integral je 0, protoze ta hranice je prazdna. Moje otazka zni: proc nemuzeme vzdy rict, kdyz $A\subset M$ je kompaktni a M je k-dimenzionalni subvarieta, ze A je k-dimenzionalni subvarieta, a proto integral pres A je vzdy 0, vybereme-li $A=M$ ?

Brano · 23. 12. 2013 11:33 — Editoval Brano (23. 12. 2013 11:48)

Bud ten tvoj kamarat len tak nahodne vynechava predpoklady, alebo to zle prekladas, alebo to proste takto neplati.

Pokial viem, tak Stokesova veta uvazuje integraly iba po orientovatelnych varietach a nie po ich lubovolnych podmnozinach. Moze existovat nejake zovseobecnenie ktore nepoznam, ale tipujem, ze ak sa jedna o zakladny kurz diferencialnej geometrie, tak sa bavime o tejto vete: http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes'_theorem

V skutocnosti akurat ten pripad $A=M$ ma zmysel, lebo vtedy mame zarucene, ze sa bavime o variete (predpokladam, ze sa tu ticho predpoklada jej orientovatelnost).

K tvojej otazke: "Preco nemozeme povedat, ze ak A je kompaktna podmnozina k-dimenzionalnej variety potom A je varieta" - tak na to som ti daval priklad v predchadzajucom prispevku.

Ale ked uz sa bavime o Stokesovej vete, plati takyto jej trivialny dosledok.
Nech $A$ je kompaktna varieta, potom pre jej hranicu mame $\partial A=\emptyset$ a teda
$\int_{A}d\omega=\int_{\partial A}\omega=0$

Cize da sa hovorit o nulovosti integralu exaktnej formy, ale urcite nie o nulovosti integralu akejkolvek formy. Ked budes po neprazdnej kompaktnej variete integrovat jej formu objemu, tak dostanes objem tej variety, co nie je nula.

Turmawen · 24. 12. 2013 00:05

↑ Brano:

Znovu dekuji za odpoved a za Tvuj cas, zde jeste posledni dotaz, prosim:

(Snazim se to prekladat co nejlepe, je mozne, ze jsem se nekde spletla, tak na konci jeste prikladam originalni zneni v anglictine.)

1. Rika, ze ta veta neni uplne presne jako je uvedeno na wikipedii. Takze ano, predpoklada se, ze M je orientovana subvarieta. $A\subset M$ je kompaktni a je stejne orientovana jako M. Hranice A je brana vzhledem k M a orientace te hranice je indukovana M. Cili aby ta veta davala smysl, A nemusi byt sama subvarieta, musi byt alespon vlozena (anglicky embedded) do te subvariety, takze se pouzije parametrizace a orientace M, aby se definoval integral pres A. Vlastne, pokud A JE subvarieta, pak protoze je kompaktni, tvrzeni te vety je trivialni a rika, ze ten integral je 0 (to byla vlastne jeho otazka).

2. To, v cem ma zmatky ohledne te vety je hlavne kvuli te hranici A, tj. kdyz je prazdna a kdy neprazdna. Cili, je-li A sama subvarieta, uvazuje spravne, ze pak lze A vlozit (embed) do sebe sama a rici, ze A ma prazdnou hranici?

3. Predtim jsi rikal, ze je-li $A\subset M$ kompaktni, pak A neni nutne subvarieta. Pokud navic predpokladame, ze A je otevrena, muzeme potom rici, ze A je subvarieta a tedy dojit k zaveru, ze ve Stokesove vete ma A prazdnou hranici?

ANGLICKY:

1. The statement is not exactly like the one in wikipedia. So yes, M is an oriented sub-manifold by assumption. $A\subset M$ is compact and has the same orientation as M. The boundary of A is taken with respect to M and the orientation of this boundary is induced by M. So for the theorem to make sense, A does not have to be a sub-manifold itself, it has to be at least embedded into a sub-manifold, so you use the parametrization and orientation of M to define the integral over A. In fact, if A IS a sub-manifold, then since its compact, the statement of the Theorem is trivial and it says that the integral is zero (this was actually my question).

2. So my confusion with the statement of the Theorem is mostly with the boundary of A, i.e. when is it empty and when not. So basically, if A is a sub-manifold itself, then you can embed A into itself and then say A has empty boundary, correct?

3. He said before, if $A\subset M$ is compact, then A is not necessarily a sub-manifold. If we additionally assume A is open- can we then say A is a sub-manifold and thus conclude that in the Stokes Theorem A has empty boundary?

Brano · 24. 12. 2013 01:15 — Editoval Brano (24. 12. 2013 01:21)

takze vyzera, ze prekladas presne

cize "embedding", ako ten termin poznam, ma zmysel iba pre variety (ak chceme ostat v kontexte diferencialnej geometrie) - slovensky termin presne nepoznam ale skusme pouzivat "vnorenie" (mozno to nie je spravne, ale myslim, ze "vlozenie" sa pouziva pre "immersion" aj ked mozno som si to prehodil)
http://en.wikipedia.org/wiki/Embedding# … l_topology
t.j. nema zmysel hovorit, ze nejaka (lubovolna) podmnozina $A\subset M$ variety $M$ je vnorena do $M$ ak to sama nie je varieta.
A ak uz je nejaka varieta vnorena do variety $M$ , tak je to az na homeomorfizmus jej podvarieta.

A tiez v kontexte diferencialnej geometrie sa integruju diferencialne formy po orientovatelnych varietach. T.j. da sa integrovat aj kadeco ine po kadecom inom - trebars funkcie po meratelnych mnozinach, ale to uz nie je diferencialna geometria (aspon nie zakladny kurz). Ale v podstate nepoznam zovseobecnenie Stokesovej vety, v ktorom by oblast integracie mohla byt nieco ine ako varieta t.j. nejaka lubovolna podmnozina.

Dalej trivialne plati, ze akakolvek varieta sa da vnorit sama do seba a nic uzitocne sa z toho neda odvodit. (aspon myslim)

A este plati, ze akakolvek otvorena podmnozina $A\subset M$ variety $M$ , je jej podvarieta (ak zdedi strukturu.)

Plati tvrdenie: Kazda kompaktna varieta ma prazdnu hranicu.
Aj ked tu moze nastavat jadro problemu. Spytaj sa ci podla jeho definicie vyhovuje jednotkovy uzavrety interval definicii variety.
T.j. $I=[0,1]$ s obvyklou Euklidovskou strukturou.
Tej definicii ako ju poznam nevyhovuje - t.j. ja by som povedal, ze to nie je "varieta", ale tzv "vareita s hranicou".
Varietou by bol napr. otvoreny interval $(0,1)$ a jeho hranica je $\{0,1\}$ .

Turmawen · 24. 12. 2013 15:41

↑ Brano:

Prijemny stedry den! Vsechno dobre a znovu dekujeme za pomoc. Nedes se, ze je to tak strasne dlouhe, uvadim to pro jistotu jeste i anglicky, takze to ma vlastne dvojnasobnou delku.

1. Definice, kterou myslel, je tato: $M$ je k-dimenzionalni subvarieta pokud $M$ muze byt lokalne vyjadrena jako obraz (alespon) $C^1$ funkci v k promennych, tak zvanych 'charts' (netusim, jak prelozit). Tyto charts jsou vlozeni (tebou zminena immersions). Jde jen o jednu z mnoha ekvivalentnich definic. Tedy pro kazdy bod $p$ v $M$ , existuje okoli bodu $p$ takove, ze prunik tohoto okoli s $M$ je obraz takove chart v k promennych, kde chart je definovana pres otevrenou mnozinu v $R^k$ . Cili bereme-li tuto definici, uzavreny interval $[0,1]$ neni subvarieta, otevreny stejny interval subvarieta je. Tedy samozrejme trivialne kazda otevrena mnozina v $R^n$ je n-dimenzionalni subvarieta.

ANGLICKY:
1. The definition of a sub-manifold M that I have in mind is that: M is a k-dim sub-manifold if M can be locally represented as an image of (at least) C^1 functions in k-variables, so called charts. These charts are immersions. This is just one of the several equivalent definitions. So for every point p in M, there is a neighborhood of p, such that the intersection of this neighborhood with M is an image of such a chart in k-variables, where the chart is defined over an open set in R^k. So, given this definition, the closed [0,1] is not a sub-manifold, the open interval is. So, of course, trivially any open set in R^n is an n-dimensional sub-manifold.

2. Omlouva se za zmatky s tim terminem embedding. To, co je podstatne pro nase ucely, je, ze $M$ je orientovana subvarieta a $A\subset M$ je kompaktni. $A$ nemusi byt subvarieta toho integralu, aby to davalo smysl, a ano, mluvi o diferencialni geometrii. Pokusi se strucne nastinit definici toho integralu, tak jak ji sam zna:
- Opet zacneme s orientovanou subvarietou $M$ a kompaktni podmnozinou $A$ . Nejdriv predpokladejme, ze mame chart $\phi$ takove, ze $A$ je uplne uvnitr obrazu toho $\phi$ . Pak definujeme integral takto: $\int_{A} w = \int_{\phi ^{-1}(A)} \phi w$ .
-Jinak predpokladame, ze $A$ je obsazeno v sjednoceni spocetne mnoha obrazu tech charts of $M$ . To je mozne, nebot $A$ je kompaktni, tedy "spocetne mnoho". Nekdy misto predpokladu, ze $A$ je kompaktni, predpokladame, ze $w$ ma kompaktni nosic, coz dava stejny zaver. Pak vezmeme deleni toho sjednoceni a definujeme integral pres kazdou jednu cast jako jsme to udelali vyse. Tento integral je korektne definovany, nebot hodnota toho integralu nezavisi na zvolenych charts (ani na deleni toho sjednoceni), protoze $M$ je orientovane, tj. tim fixujeme orientaci $M$ .

ANGLICKY:
2. Sorry for the confusion about "embedding". All that is necessary for our purposes is that M is an oriented sub-manifold and A\subset M is compact. A does not have to be a sub-manifold for the integral to make sense, and yes I am talking about differential geometry. I will try to briefly sketch the definition of the integral that I have in mind:
- Again, we start with an oriented sub-manifold M and a compact subset A. Assume first that there is a chart phi, such that A is completely inside the image of phi. Then we define the integral of w over A as the integral of phi*w over the inverse image of A, i.e. over phi^-1(A).
- Otherwise we assume that A is contained in the union of finitely many images of charts of M. This is possible, since A is compact, hence the "finitely many". Sometimes instead of assuming A is compact, we assume w has compact support, which ends in the same way. Then we take a partition of unity and define the integral over each "part" same as above. This integral is well defined, since the value of the integral does not depend on the chosen charts (and partition of unity), since M is oriented, i.e. given we fix the orientation of M.

3. Jeho problem a hlavni otazka je: v tvrzeni Stokesove vety dva integraly pres $A$ , jeden pres cele $A$ a druhy pres hranici $A$ . Oba integraly zavisi na nadmnozine $M$ (subvariete), protoze integral pres $A$ zavidi na orientaci $M$ a integral pres hranici $A$ zavisi take na orientaci, ale jeste navic na hranici samotne vzhledem k $M$ . A to je to hlavni, co ho mate na tvrzeni te vety. Premysli nad nasledujicimi otazkami, na nez nemuze na internetu najit uspokojive odpovedi:

a) Takze podle toho, co bylo jiz receno, $A$ nemusi sama byt subvarieta, potom ten integral bude vzdy 0 (je to spravne?). V tom pripade ma potize chapat, v cem je ten hlavni problem, ze $A$ neni nutne subvarieta? Tedy ze muzeme vyjadrit $M$ lokalne skrze charts, tak proc to nejde take s $A$ , kdyz $A$ je podmnozina $M$ ? V trivialnim pripade, kdyz $k=n$ , tedy v pripade k nebo n dimenzionalni subvarity $R^n$ chape, v cem je ten problem, ale co pro $k<n$ ?

b) Co se tedy stane, vezmeme-li jinou nadmnozinu $A$ , konkretne $M'$ , ktera je take k-dimenzionalni subvarieta, bereme-li $A$ jako pevne. Znamena to, ze $\int_{A} dw$ se taky zmeni, nebo ne? Mysli si, ze by nemel, protoze by to nedavalo zadny smysl, pokud ta definice zavisi na $M$ . Na druhou stranu tato verze Stokesovy vety bere $M$ jako pevne hned v uvodu tvrzeni. Ten orientovany atlas (? nevim, co je, pardon) of $M$ je tedy pouziv v dukazu te vety, ale neni mu jasne, jestli je dulezita volba konkretniho $M$ nebo jestli to musi byt proste NEJAKA nadmnozina $A$ , ktera je k-dimenzionalni subvarieta.

ANGLICKY:
3. My problem and main question is: in the statement of the Stokes Theorem, we have two integral over A- one over A, and one over the boundary of A. Both integral depends on the superset M (the sub-manifold), since the integral over A depends on the orientation of M and the integral over boundary of A depends also on the orientation, plus the boundary itself is taken w.r.t. to M. And this is the main reason for my confusion with the statement of the Theorem. This makes me wonder about the following questions, which I can not find a clarifying answer to on the internet:
a) So given everything that was said before, A does not have to be a sub-manifold itself, then the integral would always be zero (correct?). In that case, I have trouble seeing, what it is the main problem that A is not necessarily a sub-manifold? I mean we can represent M locally through charts, so why not A as well, since A is a subset of M? Whats the main problem here? So in the trivial case of k=n dimensional sub-manifolds of R^n I see what the problem is. But what about k<n?
b) So, what happens if we take a different superset of A, M', which is also a k-dimensional sub-manifold, while keeping A fixed. Does this mean that the integral of dw over A changes as well, or not? I think it should not, it would not make sense if this definition would depend on M. On the other hand this version of the Stokes Theorem does fix M in the beginning of the statement. The oriented atlas of M is then used in the proof of the statement, but its not obvious to me, if the choice of a certain M is essential, or if it just has to be ANY superset of A, which is a k-dim sub-manifold.

Brano · 25. 12. 2013 14:16 — Editoval Brano (25. 12. 2013 14:18)

vesele Vianoce aj vam,

a teraz k integralom :-)
1) ja poznam definiciu co uvazuje ako oblast integracie iba samotne variety, ale ta co uvadza vyzera korektne, teda bohuzial nebudem vediet dat uplne uspokojivu odpoved.
2) Takze sme si uz uzrejmili, ze ak za $A$ zoberieme interval $[0,1]$ tak sa jedna o kompaktnu podmnozinu $R$ , ale nejedna sa o varietu. Tiez plati
$\int_{[0,1]}dx=1$ ak zvolime orientaciu od 0 po 1 - cize nie, integral na kompaktnej mnozine nemusi byt vzdy 0.
3) v takto definovanom integrali mam trochu problem si predstavit ako to presne funguje so Stokesovou vetou ak by mnozina $A$ bola nejaka divoka. $[0,1]$ je totizto dost pekna mnozina, lebo sa lisi od $(0,1)$ - co je varieta, iba o dva body a tie integral nezmenia. Divoka je napr. ta Kantorova mnozina co som spominal, ale ta ma mieru nula, takze po nej mozme integrovat hocico a dostaneme 0, cize zase z toho nic specialne nedostaneme.
4) zmena nadmnoziny (M) by nemala nic sposobit, lebo inak by to bol dost zle definovany integral, ale samozrejme to je vec co si treba overit.
Za prve si treba uvedomit, ze ak chce menit varietu $M$ , tak nema volnu moznost vyberu dimenzie, lebo ta je dana tym aku formu $w$ integruje - t.j. ak integruje 2-formu, tak jej integral ma zmysel na 2 rozmernej variete. No a ked uz vieme, ze $M$ a $M'$ maju rovnaku dimenziu a zhoduju sa aspon v tom $A$ -cku, tak by bolo treba nahliadnut, ze na nejakom okoli $A$ su homeomorfne (resp. difeomorfne).
5) posledna poznamka o tom ako moze ta kompaktna podmnozina nebyt podvarieta. Ak $C$ je kantorova mnozina, tak pre lubovolne $k$ plati, ze $C^k$ je kompaktna podmnozina $R^n$ , pre kazde $n\ge k$ . Ale kedze $C^k$ nie je varieta sama o sebe, tak to ani nemoze byt podvarieta ziadnej inej variety, teda napr. aj samotneho $R^n$ .

Turmawen · 28. 12. 2013 13:31

Tak mam vyridit, ze ohledne te Stokesove vety jste meli stejne uvahy, ale ty mas vetsi znalost topologie, takze moc dekuje za pomoc, za ochotu a za cas! Vsechno nejlepsi do noveho roku :-)

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2013 00:26

Variety (manifolds)

#2 20. 12. 2013 12:11 — Editoval Brano (20. 12. 2013 12:15)

Re: Variety (manifolds)

#3 23. 12. 2013 10:58

Re: Variety (manifolds)

#4 23. 12. 2013 11:33 — Editoval Brano (23. 12. 2013 11:48)

Re: Variety (manifolds)

#5 24. 12. 2013 00:05

Re: Variety (manifolds)

#6 24. 12. 2013 01:15 — Editoval Brano (24. 12. 2013 01:21)

Re: Variety (manifolds)

#7 24. 12. 2013 15:41

Re: Variety (manifolds)

#8 25. 12. 2013 14:16 — Editoval Brano (25. 12. 2013 14:18)

Re: Variety (manifolds)

#9 28. 12. 2013 13:31

Re: Variety (manifolds)

Zápatí