Matematické Fórum

Ginco · 25. 01. 2009 17:27 — Editoval Ginco (25. 01. 2009 17:28)

Ahoj...mam tu dalsi maly orisek pro me...nemohl by me nekdo nakopnout?

Nechť $a_n = (1+\frac{1}{2})\cdot(1+\frac{1}{2^{2}})\cdot...\cdot(1+\frac{1}{2^n})$

Dokažte, že je omezená shora...

Tak vím, že daná posloupnost je rostoucí...pak vím, ze pokud je omezená shora nejakým číslem $c>0$ takovým, že $\forall{n}\in{N}:|a_n|<c$ , tak to c musí být určitě supremem(je rostouci) a tedy i limitou dané posloupnosti(nebot je konvergentní kvůli monotonosti a omezenosti), bohužel, ale nemám myšlenku...za každou radu budu rád :-D

Olin · 25. 01. 2009 17:45

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product

$1 + \sum_{n=1}^N p_n \leq \prod_{n=1}^N (1 + p_n) \leq \exp $ \sum_{n=1}^N p_n $$

U tebe $p_n = \frac{1}{2^n}$ . Protože je konvergentní geometrická řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ , je konvergentní i tvá posloupnost $\{a_n\}$ .

lukaszh · 25. 01. 2009 17:52

↑ Olin:
Myslím, že triky tohto typu ešte Ginco nepozná a možno by bolo lepšie dokázať to na nižšej úrovni. Netreba hneď vyťahovať také nerovnosti, inak nepoznám ich :)
↑ Ginco:
$$1+\frac{1}{2^1}$\cdot$1+\frac{1}{2^{2}}$\;\cdots\;$1+\frac{1}{2^n}$=\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{8}\;\cdots\;\frac{2^n+1}{2^n}\,<\,10$
Môžeš skúsiť napríklad indukciu.

Ginco · 25. 01. 2009 17:58

↑ Olin:

Ok, dík, ted mam tedy dobrej plán na konvergenci, ted akorát jak dokážu, že daná posloupnost je monotonní? Třeba, že vynásobim 2 členy a ty musi byt mensi než vynasobene 3 cleny? protože si myslim, ze pokud dokazu ze je konvergentni a monotonni, pak uz to bude hracka

Ginco · 25. 01. 2009 18:02

↑ lukaszh:

jen dotaz jak jsi prisel na tu 10 ?

lukaszh · 25. 01. 2009 18:03

↑ Ginco:
To je tip. Nič v tom nehľadaj. Ak sa dokáže, že je to menšie ako 10, tak je to ohraničené zhora.

Ginco · 25. 01. 2009 18:06

↑ lukaszh:

Nj to jsem potreboval vedet...jdu na to a vysledek sen napisi dík

Olin · 25. 01. 2009 18:09 — Editoval Olin (25. 01. 2009 18:10)

Ohledně monotónnosti - posloupnost bys mohl zapsat rekurentně
$a_{n+1} = a_n $ 1 + \frac{1}{2^{n+1}} $$

Odtud máme
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 + \frac{1}{2^{n+1}}\: > \: 1$

Poměr po sobě jdoucích členů je tedy větší než 1 - každý člen je tedy větší než předchozí, tj. posloupnost je rostoucí.

Ginco · 25. 01. 2009 18:25

↑ Olin:

OK děkuji, Tvůj postup je srozumitelnější...indukce nebyla nikdy moje silná stránka

Ginco · 25. 01. 2009 18:34

je jsem se chtel zeptat...je pravda, ze kazda konvergentni a monotonni posloupnost je omezená?

lukaszh · 25. 01. 2009 19:51

↑ Ginco:
Myslím, že je treba zjednotiť svoje poznatky. Postupnosť je konvergentná, ak je monotónna a ohraničená. Keď dokazuješ, že nejaká postupnosť má limitu (konverguje) musíš dokázať, že daná postupnosť je monotónna a ohraničená.

Ginco · 25. 01. 2009 20:07

↑ lukaszh:

no to vim, ale ptam se na jinou vec : platí toto?: kazdá konvergentni a monotonni posloupnost je omezená?

lukaszh · 25. 01. 2009 20:23

↑ Ginco:
Áno.

Marian · 25. 01. 2009 22:11 — Editoval Marian (25. 01. 2009 22:12)

↑ Olin:↑ lukaszh:

Nerovnost, kterou Olin uvádí, se používá v jisté základní větě o konvergenčním charakteru nekonečné řady a nekonečného součinu. Důkaz uvedené nerovnosti je relativně snadný. Možná bychom mohli tuto úlohu (důkaz nerovnosti z wiki) nadhodit do sekce úloh zajímavých.

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2009 17:27 — Editoval Ginco (25. 01. 2009 17:28)

důkaz omezenosti posloupnosti

#2 25. 01. 2009 17:45

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#3 25. 01. 2009 17:52

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#4 25. 01. 2009 17:58

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#5 25. 01. 2009 18:02

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#6 25. 01. 2009 18:03

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#7 25. 01. 2009 18:06

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#8 25. 01. 2009 18:09 — Editoval Olin (25. 01. 2009 18:10)

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#9 25. 01. 2009 18:25

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#10 25. 01. 2009 18:34

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#11 25. 01. 2009 19:51

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#12 25. 01. 2009 20:07

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#13 25. 01. 2009 20:23

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

#14 25. 01. 2009 22:11 — Editoval Marian (25. 01. 2009 22:12)

Re: důkaz omezenosti posloupnosti

Zápatí