Matematické Fórum

Halca · 24. 12. 2013 11:12

Ahoj,
měl bych tady jeden Vánoční příklad, se kterým se mi nedaří pohnout.

Jde o zdánlivě jednoduchou diferenční rovnici
$y_{n+1}-y_n = f_n+a_n$

kde an je libovolná posloupnost splňující předpoklady ze Z0 (tzn. splňující předpoklady pro použití z-transformace) a fn je definována jako:
$2^n$ pro sudá n
$3^n$ pro lichá n
pro všechna přirozená čísla vč. nuly

poč. podmínka je $y_0=0$

Dokonce mám i řešení, ale nepodařilo se mi k němu dopracovat

$y_n = - \frac{1}{2} - \frac{3}{8} + 2^{n-1} - (-2)^{n-1} + \frac{3^n}{4} +\frac{(-3)^n}{8}+\sum_{k=1}^{n}a_{n-k}$

Můj dosavadní postup
- transformace do Z obrazu
- převedení Y(z) na jednu stranu
- snaha o vyjádření F(z)
- nezdařená snaha o nalezení vzoru k získanému obrazu

Celkově jsem nejspíše ztroskotal na vyjádření F(z). Zkoušel jsem ledasco, například použít konvoluci při hledání vzoru s výrazem:
$f_n = \frac{1+(-1)^{2n}}{2}2^n + \frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}3^n$

Předem děkuji za pomoc.

Halca · 24. 12. 2013 20:04

Takže vyřešeno.. s použitím materiál Krajník.

Postup byl více méně správný, jen bylo vhodnější použít jednodušší zápis fn a následně přes residua (póly prvního řádu).

Matematické Fórum

#1 24. 12. 2013 11:12

Diferenční rovnice, posloupnost s odlišnými sudými a lichými členy

#2 24. 12. 2013 20:04

Re: Diferenční rovnice, posloupnost s odlišnými sudými a lichými členy

Zápatí