Matematické Fórum

The_Founder · 24. 12. 2013 17:33

Ahojte všetci,
v prvom rade vám všetkým želám Šťastné a Veselé Vianoce...
Mohli by ste mi pomôcť s touto úpravou??
Mám príklad $\int_{}^{}\frac{5x+1}{x^{2}-x-6}dx$ ,
ktorý som vypočítal pomocou vzorca z tohto odkazu a dostal som tento výsledok
$\frac{5}{2}\ln |x^{2}-x-6|-\frac{7}{5}arctanh(\frac{2x-1}{5})+c$ ,
ale vo výsledku mám napísané
$\frac{16}{5}ln|3-x|+\frac{9}{5}ln|x+2|+c$
Overil som si to aj vo wolframe a výsledky sú identické, čiže je to správne.
Mohol by mi niekto ukázať ako sa mám dopracovať z "môjho" výsledku na "ich"?
Vopred ďakujem za odpoveď.

Blackflower

↑ The_Founder: Ahoj,
skús si pozrieť napríklad tento odkaz, nejako som to neštudovala, ale sú tam nejaké vzorce, ako vyjadriť arctanh pomocou logaritmu. Ak nepomôže, skús googliť alebo pozrieť napr. anglickú wiki.

seliga.adam · 25. 12. 2013 02:47

Integrál racionálnych funkcií sa rieši nejak takto:
a) ak sa zlomok dá rozložiť na elementárne zlomky, tak sa to spraví;
b) ak nie, a polynóm v čitateli je o rád nižší, tak sa snažím rozložiť na 2 zlomky, kde prvý bude obsahovať deriváciu menovateľa a druhý všetko ostatné;
c) iné metódy.

V tomto prípade je v menovateli funkcia:
$x^2 - x - 6,$
ktorá sa dá pekne rozložiť na:
$(x+2)(x-3)$
Teraz si poviem, že:
$\frac{5x+1}{x^2 - x - 6} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-3},$
a dopočítam si A a B tak, aby naozaj táto rovnica sedela.

Odporúčam vyskúšať si ako to funguje, ale dám sem aj riešenie: