Matematické Fórum

smiesek · 25. 01. 2009 08:10

Mám následující zadání pro hledání asymptot funkce, ale nevím si s ním rady, proto budu ráda za popostrčení pro následné řešení

zadání
najděte asymptoty funkce $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3Df(x)$ ; $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3A2^x$ $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x\le-1$

můj nápad
Alespoň co jsem pochopila já a jak bych to řešila, tak bych udělala:
limity funkce
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\infty}2^x%3D%20\infty$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20-\infty}2^x%3D-%20\infty$
což dokazuje, že nejsou body nespojitosti

asymptoty funkce
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3Dax%2Bb$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\infty}\frac{2^x}{x}%3D0$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\infty}2^x%20-0*x%3D0$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3D0$

no ale stále netuším, jak počítat s tou -1

kaja.marik · 25. 01. 2009 09:45

vsechny limity az na tu prvni jsou spatne ....

lukaszh · 25. 01. 2009 11:07

↑ smiesek:
Dovolím si poopraviť, že limita exponenciálnej funkcie 2^x pre x do záporného nekonečna je 0. To vyplýva z jednoduchej úpravy:
$\lim_{x\to-\infty}2^x=\lim_{x\to+\infty}2^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2^{x}}=0$
Ale neviem ako z toho vyplýva spojitosť.
Opäť zlý výpočet:
$\lim_{x\to\infty}\frac{2^x}{x}=\infty$
Pravdepodobne si myslela limitu, ktorá je nula:
$\lim_{x\to-\infty}\frac{2^x}{x}=0$

smiesek · 25. 01. 2009 12:36

wow, takže v limitách, jak tak koukám, hodně plavu, nu což, přesto děkuji za vysvětlení a za nasměrování ke správnému řešení, přesto... copak mám robit s tím číslem -1? Kam se v konečném důsledku dosazuje? Či jak vlastně řešit takové zadání?

Děkuji za pomoc a radu

lukaszh · 25. 01. 2009 12:42

↑ smiesek:
Hľadáš asyptotu funkcie definovanú pre hodnoty menšie ako -1. Na strednej škole sa preberajú grafy exponenciálnych funkcií a z náčrtu môžeš vidieť, že asymtota pre záporné hodnoty je x-ová os.

smiesek

↑ lukaszh:
takže vypočítám limitu funkce pro -2 a minus nekonečno?

lukaszh

↑ smiesek:
Nie. Asymptota je priamka, ktorej vzdialenosť sa s narastajúcimi hodnotami približuje ku grafu funkcie. Počítaš teda limitne do nekonečna. Asymptota:
$y=ax+b$
kde koeficienty a,b vypočítaš z limít:
$a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\nlb=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax)$
Upozorňujem, že asymptoty môžu byť aj dve. Preto treba počítať dve limity pre +nekonečno a dve limity pre - nekonečno. Taktiež si môžeš všimnúť, že pre výpočet druhej z uvedených limít, musíš poznať výsledok "a" prvej z nich. Lenže teba v tomto príklade zaujímajú len hodnoty menšie ako -1, preto počítaš len do -nekonečna.

smiesek · 26. 01. 2009 08:31

↑ lukaszh:
děkuji za vysvětlení, nyní již pochopeno

zkusila jsem ještě jeden typ zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3A\frac{1}{|x|}-\frac{1}{2}$ , kde $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x\in%3C-1%3B1%3E$

můj postup řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3Dax%2Bb$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200^-}\frac{f(x)}{x}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200^-}\frac{\frac{1}{|x|}-\frac{1}{2}}{x}%20%3D-{\infty}$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200^%2B}\frac{f(x)}{x}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200^%2B}\frac{\frac{1}{|x|}-\frac{1}{2}}{x}%20%3D%2B{\infty}$