Matematické Fórum

Karim · 31. 12. 2013 11:32

Ahoj potřeboval bych postrčit v příkladu:

Mohl by existovat netradiční adventní věnec, který má svíčky nerovnoměrně umístěné
ve vrcholech mnohoúhelníku, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost 126° a každý
následující je o 4° větší ? Jestliže existuje, určete počet svíček na věnci. V opačném
případě odůvodněte, proč neexistuje takový mnohoúhelník.

Je jasný, že se týká AP kde $a_1= 126^\circ$ a $d=4$
nicméně nevim jak dál jen ta odpověď na počet svíček bych napsal 4 :D protože je to adventní věnec ;)

gadgetka

Součet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku (n-úhelníku) je 180°(n-2), což bych označila jako $s_n$ = součet prvních členů aritmetické posloupnosti. Sestavíš rovnici a vypočítáš "n".

Karim · 02. 01. 2014 12:10

Díky moc, takže:
$a_1=126$ $d=4$
$s_n= 180 (n-2)$
$s_n= \frac{n}{2}(a_1+a_n)$
$a_n=a_1+(n-1)d$
$180(n-2)=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$
$180n-360=\frac{n}{2}(a_1+a_1+d*n-d*1)$
$360n-720=n(252+4n-4)$
$360n-720=252n+4n^2-4n$
$4n^2-112n+720=0$
$n^2-28n+180=0$
$n_1= 18$
$n_2= 10$

Karim · 12. 01. 2014 11:36

Tak ještě jednou jen narazil jsem na tuhle definici:

Pokud se součet vnitřních úhlů hledaného nepravidelného mnohoúhelníka shoduje se součtem úhlů pravidelného mnohoúhelníka, pak je řešením počet úhlů,
kde se střetnou součty vnitřních úhlů. Zároveň platí, že vnitřní úhel má maximálně 180°, proto máme jenom jedno řešení.

Víte o ní něco? Znamená to teda že řešení je jen $n_2=10$ ??

jelena · 12. 01. 2014 14:35

↑ Karim:

Zdravím,

omlouvám se, označila jsem téma za vyřešené (přišlo mi, že v problému se orientuješ dostatečně a žádný nový dotaz jsi nepřidal), téma jsem opět "odznačila". Ještě je třeba ověřit podmínku pro poslední úhel v mnohoúhelníku, že $a_n=a_1+(n-1)d$ nepřekročí 180 stupňů a zároveň bude o 4 stupně větší, než předchozí. Mně narychlo vyšlo, že nevyhovuje žádné n, ale ještě překontroluj.

Předpokládám, že mnohoúhelník je konvexní.

Pokud se součet vnitřních úhlů hledaného nepravidelného mnohoúhelníka shoduje se součtem úhlů pravidelného mnohoúhelníka, pak je řešením počet úhlů, kde se střetnou součty vnitřních úhlů.

Podmínka pro součet vnitřních úhlů (vzorec) platí pro každý mnohoúhelník, ale nemohu říci, že jsem tuto poznámku pochopila přesně. Zřejmě tak, že pokud mám pravidelný mnohoúhelník a z jednoho vrcholu začnu kreslit nepravidelný, tak pro dodržení podmínky shody musím kreslení ukončit ve stejném vrcholu, kde jsem začala. Ale nejsem si jistá, jak se to zde použije. Snad někdo z kolegů doplní. Děkuji.

Karim · 16. 01. 2014 21:01

Děkuji moc naakonec to v tomle příkladu nehrálo roli mnohoúhelník mohl být i nekonvexní...

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2013 11:32

Aritmetická posloupnost- mnohoúhelník

#2 31. 12. 2013 12:18 — Editoval gadgetka (31. 12. 2013 12:19)

Re: Aritmetická posloupnost- mnohoúhelník

#3 02. 01. 2014 12:10

Re: Aritmetická posloupnost- mnohoúhelník

#4 12. 01. 2014 11:36

Re: Aritmetická posloupnost- mnohoúhelník

#5 12. 01. 2014 14:35

Re: Aritmetická posloupnost- mnohoúhelník

#6 16. 01. 2014 21:01

Re: Aritmetická posloupnost- mnohoúhelník

Zápatí