Matematické Fórum

smiesek · 26. 01. 2009 13:04

Dobrý den,
ráda bych poprosila o další kroky, při řešení následující goniometrické funkce, kdy se má vyšetřit

zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(x)%3Ay%3Dx%2Bsin^2x$

můj postup
1. definiční obor
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=D(f)%3D(-%20\infty%3B%20\infty)$

2. průsečíky s osami
- zde netuším, jak je mám vypočítat, lépe řešeno, jak je vyjádřit

3. parita funkce
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=f(-x)%3D-x%2Bsin^2(-x)$

4. limita funkce
- netuším, jak se to řeší

5. asymptoty funkce
- netuším, jak se to řeší

6. monotonost funkce
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3D[x%2Bsin^2x]%3D1%2B2sinx*cosx$
- jak mám nyní vyjádřit x?

7. konvexnost, konkavnost, inflexní bod
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=[1%2B2sinx*cosx]%3D2*(cos^2x-sin^2x)$
- též nevím postup při vyjádření x

některé kroky mám vyřešení, ale u některých nevím, jak se aplikují.
Děkuji za jakoukoliv radu.

jendula11 · 26. 01. 2009 13:10

například průsečíky: y=0, s x se mi to zdá horší určitě x=0

vosa · 26. 01. 2009 14:07

↑ smiesek:

4. funkce je na celém R spojitá, takže limity je třeba vypočítat pouze v nekonečnech. Dále platí: $0 \leq sin^2 x \leq 1$ pro všechna x reálná.
Takže můžeme odhadnout: $\lim_{x \rightarrow + \infty} {x} \leq \lim_{x \rightarrow + \infty} {(x + sin^2 x)} \leq \lim_{x \rightarrow + \infty} {(x + 1)}$
Obě krajní limity jdou do nekonečna, takže i jimi sevřená limita je nekonečno. Obdobně se vypočítá i limita pro případ, kdy $x \rightarrow - \infty$

vosa · 26. 01. 2009 14:17

5. Asymptoty.

Opět je funkce spojitá na celém R, takže i asymptoty může mít pouze v nekonečnech. Pokud tyto asymptoty existují, jejich rovnice je y=kx+q, kde k a q máme dopočítat.

$k=\lim_{x \rightarrow + \infty}{\frac{f(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}{\frac{x+\sin^2 x}{x}}$

pokud k je reálné, můžeme počítat q: $q=\lim_{x \rightarrow + \infty}{(f(x)-kx)}$
Pokud i q je reálné, pak asymptota v nekonečnu existuje (její rovnice: y=kx+q ;)

vosa · 26. 01. 2009 14:36

6. Monotonie

Platí že f(x) je na intervalu J neklesající, právě když platí: $(\forall x \in J^0)(f'(x) \geq 0)$

a je na intervalu J nerostoucí, právě když platí: $(\forall x \in J^0)(f'(x) \leq 0)$
kde $J^0$ označuje vnitřek intervalu J.
Jak už jsi spočítala $f'(x) = 1+2\sin{x} \cos{x}$
Platí: $2 \sin{x} \cos{x} = \sin{2x}$ , takže $f'(x) = 1+\sin{2x} \geq 0$ pro všechna x reálná. Čili funkce je na celém definičním oboru neklesající.

vosa · 26. 01. 2009 15:51

7. Konvexnost, konkávnost, inflexe

Vzhledem k tomu, že funkce roste (ne ostře) na celém Df a to od minus nekonečna do plus nekonečna, nemá žádné extrémy.
Platí že f(x) je na nějakém intervalu konvexní pokud je na jeho vnitřku její druhá derivace nezáporná $f''(x) \geq 0$
$f''(x) = 2(\cos^2{x}-\sin^2{x}) \geq 0 \nl \cos^2{x} \geq \sin^2{x} \nl tg^2 x \leq 1 \nl |tg x| \leq 1 \nl x \in \left[-\frac{\pi}{4} \pm k \pi, \frac{\pi}{4} \pm k \pi \right]$ kde k = 0, 1, 2, ...
Pro tato x je tedy f(x) konvexní, a konkávní pro $x \in \left[-\frac{\pi}{4} \pm k \pi, \frac{3 \pi}{4} \pm k \pi \right]$

Inflexní body jsou tam, kde se f(x) mění z konvexní na konkávní (nebo naopak). Takže inflexní body jsou:
$x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{k \pi}{2}$ kde k = 0, 1, 2, ...

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2009 13:04

Průběh goniometrické funkce

#2 26. 01. 2009 13:10

Re: Průběh goniometrické funkce

#3 26. 01. 2009 14:07

Re: Průběh goniometrické funkce

#4 26. 01. 2009 14:17

Re: Průběh goniometrické funkce

#5 26. 01. 2009 14:36

Re: Průběh goniometrické funkce

#6 26. 01. 2009 15:51

Re: Průběh goniometrické funkce

Zápatí