Matematické Fórum

mafiosso · 26. 01. 2009 11:52

Dobrý den,
zanedlouho mě čeká zkouška z matematické analýzy a narazil jsem na problém, nemohu se nejak dopátrat odvození newtonova vzorce, ve skriptech je to napsáno jen velmi nepodrobně a na internetu jsem nic nenalezl
Děkuji za odpovědi

smiesek · 26. 01. 2009 12:51

ráda bych pomohla, myslíš něco takového:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int_{a}^{b}f(x)dx%3D[F(x)]_{a}^{b}%3DF(b)-F(a)$

lukaszh · 26. 01. 2009 13:05

↑ mafiosso:
Môžeš vychádzať napríklad z Lagrangeovej vety o strednej hodnote. Nech
$I=\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x$
a nech $\varepsilon\,>\,0$ . Podľa definície určitého integrálu existuje $\delta\,>\,0$ , že pre každé delenie $D$ intervalu $[a,b]$ s normou delenia $||D||\,<\,\delta$ platí
$|R(f,D)-L|\,<\,\varepsilon$
Skrátený tvar :-) Lagrangeovej vety hovorí o existencií bodu $c\in(a,b)$ s vlastnosťou
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
čo možno ekvivalentne previesť na tvar
$f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$
a odtiaľ vyplýva rovnosť:
$f(c)(b-a)=F(b)-F(a)$
kde F je primitívna k f. Toto aplikujem na delenie $D_n=\{a=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n=b\}$ , a dostanem systém rovností:

Súčtom uvedený rovností dostanem:
$\sum_{k=0}^{n}f(\xi_k)(x_{k+1}-x_{k})=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)$
To platí pre ľubovoľné delenie a taktiež
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}f(\xi_k)(x_{k+1}-x_{k})=\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)$