Matematické Fórum

Andrejka3 · 02. 01. 2014 15:27

Ahoj,
existuje uspořádaná množina taková, že splňuje zároveň následující:
1) existují suprema všech jejích dvouprvkových podmnožin (horní polosvaz),
2) má nejmenší prvek,
3) existuje dvouprvková podmnožina, která nemá ifimum (není to svaz)
?

Prosím, pomozte.

OiBobik

↑ Andrejka3:

Ahoj,

trochu umělý (avšak přímočarý) příklad je:

Uvažujme $(L, \leq)$ nějaký svaz bez největšího prvku a s nejmenším prvkem (tj nutně něco nekonečného; můžou to být třeba konečné podmnožiny nějaké spočetné množiny s inkluzí). No a teď definujme $L':=L\cup \{a,b,c\}$ , kde $a, b, c$ jsou tři různé nové prvky, a uspořádání na $L'$ následovně:

0) $l \leq l'$ pro $l,l' \in L$ , právě když $l \leq l'$ ve svazu $L$ ,
1) $l<a, l<b, l<c$ pro $l\in L$ ,
2) $b<a, c<a$ , $b$ a $c$ jsou neporovnatelné.

(tj taková stříška nad svazem $L$ ).

Pak suprema dvouprvkových množin existují, nejmenší (i největší) prvek taky, ale $b,c$ nemají infimum: Kdyby jej měly, pak se nutně jedná o největší prvek svazu $L$ (jelikož toto infimum zřejmě není žádný z prvků $a, b, c$ ), ten však neexistuje.

Andrejka3 · 02. 01. 2014 15:50

↑ OiBobik:
Díky moc!

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2014 15:27

Poset

#2 02. 01. 2014 15:45 — Editoval OiBobik (02. 01. 2014 16:08)

Re: Poset

#3 02. 01. 2014 15:50

Re: Poset

Zápatí