Matematické Fórum

Jelec · 02. 01. 2014 16:46

Zdravín,
dělám trochu dopředu a narazil jsem na zdánlivě jednoduchou úlohu. Najděte rovnoramenný trojúhelník, který má minimální obvod při daném obsahu. No ale problém byl ten, že v mém řešení jsem si to asi nešikovně vyjádřil a vyšel mi součet pod odmocninou * výraz = -1, což není dobré.... Úlohu mám řešit pomocí derivování.
No obvod trojúhelníku jsem si vyjádřil:
$o=a+2(\frac{16S^{2}}{a^{2}} + \frac{1}{4}a^{2})^{\frac{1}{2}}$
No už tady jsem si měl uvědomit, že to neklapne. Dá se to ještě dál upravit, ale to nic moc nevyřeší. Chce to tedy udělat nějak jinak resp. vyjádřit si obvod jinak, ale teď mě moc nenapadá jak. Máte někdo nějaký nápad?

A měl bych takovou podotázku.
Jsou dvě úlohy, třeba takováto:
Najděte rovnoramenný trojúhelník s max. obsahem při daném obvodu.
Najděte rovnoramenný trojůhelník s max. obsahem při daném obvodu.
No a tady se nabízí 2 řešení. Buď musí vyjít 2 kořeny po 1. derivaci (což se mi u takových úloh myslím (možná z nepozornosti) nestalo) nebo musí být jedno ze mnou vymyšlených zadání blbost.

Všem děkuji za čas, který tomu případně budete věnovat ;)

Jelec · 02. 01. 2014 16:59 — Editoval Jelec (02. 01. 2014 17:08)

svatý halogan napsal(a):
1.

Obsah máš daný jako součin půlky základny a výšky. Vyjádři si přes stranu a výšku délku druhé strany (ramene). Pak sestav obvod jako součet dvou ramen a základny. Obsah máš daný, je to tedy nějaká konstanta (byť neznámá). Všude si přes vztah $S = \frac a2 \cdot v$ vyjádři základnu přes výšku, ať pracuješ jen s jednou neznámou. Pak by měl obvod vyjít nějak takto: $o = 2 \sqrt{\frac{S^2}{v^2} + v^2} + \frac{2S}{v}$ . S "známe" a můžeme derivovat podle výšky. Položíme první derivaci rovnu nule a vyjde nám vztah mezi výškou a obsahem. Obsah nahradíme ze vztahu $S = \frac a2 \cdot v$ a máme hotov poměr mezi výškou a stranou.

No tak se dívám, že se to tu řešilo. Ano přes výšku to mě mohlo napadnout. Takže zbývá druhá otázka.

EDIT:
Otázka 3.:
Možná to nešikovně vyjádřím, ale něco podobného se mi už párkrát stalo. Přemýšlím dobře, když toto řešení nemá šanci na úspěch kvůli tomu, že derivuji obvod podle strany a, což nejde, jelikož obvod je tvořen i stranou b resp. 2b, takže bych měl derivovat podle a+2b (to už jsme někde jinde), takže v tom případě a+2b nahradím derivací podle výšky?

jelena · 02. 01. 2014 20:39

↑ Jelec:

Zdravím,

účelem těchto úloh v rovině SŠ obvyklé je vytvořit funkci jedné proměnné (v trochu pokročilejších oblastech matematické analýzy lze samozřejmě řešit i úlohy pro funkce více proměnných). Tedy se podívej, zda jsi využil všech vztahů (z geometrie apod.), abys více proměnných vyjádřil přes jednu. Zvolenou proměnnou je dobré označit $x$ , abys měl běžný funkční zápis $f(x)$ .

Aktuálně nevím, kterou úlohu máš na mysli v EDITu 3. upřesni, prosím, novým vložením zadání. Přehledný materiál je např. tento, snad pomůže pro zorientování. Ať se podaří.

Jelec · 02. 01. 2014 20:47

V EDIT 3 mám na mysli tuto úlohu a prezentuji svou ůteorii" proč si nemůžu udělat $\frac{\mathrm{do} }{\mathrm{da} }$ - derivovat obvod pole strany a.

jelena · 02. 01. 2014 21:03

↑ Jelec:

myslíš tuto úlohu:

Najděte rovnoramenný trojúhelník, který má minimální obvod při daném obsahu.

Pokud sestavíš funkci více proměnných, tak budeš vyšetřovat jako extrém funkce více proměnných, což také jde (viz příklady slovních úloh v odkazu), můžeš k tomu dohledat i teorii. Z Tvého pohledu by se pravděpodobně muselo parciálně derivovat po a, potom po b. To je jen k vyvrácení/potvrzení teorie, zda je to principiálně možné. Pokud funkce nepůjde sestavit jinak, tak to řešitelné je i pro více proměnných v zápisu.

Ale v první řádě se pokusíme sestavit funkci obvodu tak, abychom použili pouze jednu proměnnou.

Možností - pro obsah trojúhelníku můžeme použit různé vzorce + souvislosti mezi stranami a úhly v trojúhelníku. Tedy máš dostatečný prostor na sestavení funkce (nemusí být výška, strana, může být použit i úhel jako proměnná).

Odpovídám na Tvůj dotaz? Děkuji.

Jelec · 02. 01. 2014 21:12

Ano, odpovídáš.
Akorát je tu problém, že po zderivování podle výše uvedeného příspěvku mi, ačkoliv se to dotyčnému vyřešit podařilo, vyšlo toto. Netuším, jak to rozumě upravit. A vzhldem k tomu, že se sčítá pod odmocninou, tak to snad s mou druhákovskou matikou ani nejde. Nebo jsem udělal chybu, máš nějaký nápad?
$http://aldebaran.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{2S}{v^{2}}%20+%20\frac{\sqrt{\frac{2S^{2}}{v^{3}}+2v}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{v^{2}}+v^{2}}}$

jelena · 03. 01. 2014 00:33

pokud jsi derivoval:

$o = 2 \sqrt{\frac{S^2}{v^2} + v^2} + \frac{2S}{v}$ , tak bych ho ještě upravila na:
$o = \frac{2}{v}\sqrt{S^2+ v^4} + \frac{2S}{v}$ , zkontroluj ještě, jak jsi derivoval, asi by mi to vyšlo jinak. Případně i kontrola stroje, ale v sekci SŠ není ideální doporučení, jen, že už je celkem pozdě :-) Ale však máte prázdniny, tedy nehoří, myslím.

Jelec · 03. 01. 2014 01:12 — Editoval Jelec (03. 01. 2014 01:22)

No jak jsem říkal - dělám to zcela sám, dobrovolně a napřed, takže mě nic netlačí. Ale jak jsi to myslela s tím ideálním doporučením? ;)
Upřímně ne že bych Ti nevěřil, ale ta tvoje úprava mi přijde trochu zvláštní (a můj problém by řešila), jak jsi na to prosím přišla? No ale vzhledem k tomu, že to prý bylo spočítáno i tím, podle čeho jsem se řídil, tak bych na to rád přišel. No uvědomil jsem si chybu, že jsem odmocnil i vnitřní složku funkce. Nicméně pořád zůstává jedna odmocnina se součtem, které se potřebuji zbavit, abych mohl dopočítat extrém funkce. Zatím to vychází takto:
$0=-\frac{2S}{v^{2}}+\frac{\frac{2S^{2}}{v^{3}}+2v}{\sqrt{\frac{S^{2}}{v^{2}}+v^{2}}}$
A ještě prosím o odpověď na tu moji úvodní podotázku.
Díky

jelena · 03. 01. 2014 13:11

↑ Jelec:

dala jsem výraz pod odmocninou ke společnému jmenovateli a odmocnila jsem $\sqrt{\frac{1}{v^2}}$ . Jelikož o $v$ víme, že je kladné (udává rozměr), nemusíme používat absolutní hodnotu při odmocnění, jinak by bylo třeba $\sqrt{v^2}=|v|$ .

část $\frac{2}{v}\sqrt{S^2+ v^4}$ derivujeme jako součin (v tom ještě jsou drobné neshody ve znaménkách, mám dojem).

ale závěrečná úprava této části (Tvého zápisu) by byla tak: $\frac{2S^{2}+2v^4}{v^2\sqrt{S^{2}+v^4}}=\frac{2\sqrt{S^2+v^4}}{v^2}$ . Opět jsem využila, že výraz pod odmocninou je kladný, jinak by to tak hop nešlo.

Po opravě znamének ale máme $\frac{-2S^{2}+2v^4}{v^2\sqrt{S^{2}+v^4}}=\frac{2(v^4-S^2)}{v^2\sqrt{S^{2}+v^4}}$ .
Poopravuj to, prosím a dokončí k sestavení rovnice (spolu s prvním členem ke společnému jmenovateli). Doufám, že v tom nemám nějaký zmatek, ale máš dost času na kontrolu.

Ale jak jsi to myslela s tím ideálním doporučením? ;)

ideální je na SŠ derivovat ručně :-)

A měl bych takovou podotázku.
Jsou dvě úlohy, třeba takováto:
Najděte rovnoramenný trojúhelník s max. obsahem při daném obvodu.
Najděte rovnoramenný trojůhelník s max. obsahem při daném obvodu.
No a tady se nabízí 2 řešení. Buď musí vyjít 2 kořeny po 1. derivaci (což se mi u takových úloh myslím (možná z nepozornosti) nestalo) nebo musí být jedno ze mnou vymyšlených zadání blbost.

Já u těchto 2 úloh nevidím žádný rozdíl v zadán, pravděpodobně porovnáváš s úlohou zadání (minimální obvod a maximální obvod).

Pokud se nabízí více řešení při nálezu nulových bodů první derivace, tak ještě nekončíme - musíme ověřit kvalitu nulových bodů (a bodů, ve kterých derivace neexistuje) - zda jsme skutečně našli maximum (nebo minimum, nebo ani jedno).
Další věc - slovní úloha odpovídá konkrétní praktické situace, proto stanovujeme podmínky pro parametry slovní úlohy a pro nalezené výsledky. Například vyloučíme zápornou hodnotu rozměru, pokud z povahy úlohy to není možné.
Je hodně dobré podrobně se podívat na funkci, kterou jsi sestavil k řešení úlohy. Pokud již jsi bral základní vlastnosti funkce, tak již ze sestavené funkce poznáš, zda může mít jen minimum nebo jen maximum (viz zápis kvadratické funkce). Také sestavená funkce může dávat odpověď na obě otázky - pokud má minimum a maximum v "rozumném rozmezí" vůči zadání. Řekla bych, že v odkazu, co jsem dávala, je to celkem podrobně a názorně.

Jelec · 03. 01. 2014 13:26 — Editoval Jelec (03. 01. 2014 13:29)

Najděte rovnoramenný trojúhelník s max. obsahem při daném obvodu.
Najděte rovnoramenný trojůhelník s min. obsahem při daném obvodu.
Omlouvám se, to jsem prostě něco jiného myslel a něco jiného psal a platí tedy, že u u úloh tohoto typu by měly být vždy 2 kořeny? Zatím děkuji, podívám se na to ale až večer. Kdyžtak toto téma ještě nevypouštěj z hlavy, pro jistotu ;-) Za dosavadní pomoc děkuji.
Každopádně to mám derivované správně podle Wolfram alpha (dělal jsem to podle té mé úpravy, ne podle té tvé).

jelena · 05. 01. 2014 00:04

↑ Jelec:
Ano, tak jsem pochopila, že 2 formulace úlohy (maximální obsah, minimální obsah). Ale to teď nevím z tavru funkce odhádnout, zkusíme dojit na konec a uvidíme. Ve výsledku derivování (i když tvrdíš, že dle WA), tak pořád mám dojem, že je chyba ve znaménku. Můj výsledek - viz předchozí příspěvky. Ještě rozepíší:
Derivovali jsme:
$o = \frac{2}{v}\sqrt{S^2+ v^4} + \frac{2S}{v}$
a máme: $-\frac{2}{v^2}\sqrt{S^2+ v^4}+\frac{1}{v}\frac{4v^3}{\sqrt{S^2+ v^4}}-\frac{2S}{v^2}$
po úpravě:
$\frac{2v^4-2S^2}{v^2\sqrt{S^2+ v^4}}-\frac{2S}{v^2}$ pro nalezení extrému řešíme:
$\frac{2v^4-2S^2-2S\sqrt{S^2+ v^4}}{v^2\sqrt{S^2+ v^4}}=0$
$v^4-S^2=S\sqrt{S^2+ v^4}$
$v^8-2v^4S^2+S^4=S^4+S^2v^4$
$v^8-3v^4S^2=0$
$v^4(v^2-\sqrt3S)(v^2+\sqrt3S)=0$
Dokončíš rozbor kořenů?

Z tohoto výsledku vidím 3 stacionární body pro funkci $f(x)=\frac{2}{x}\sqrt{S^2+ x^4} + \frac{2S}{x}$ , ovšem v R. Podmínka, že $x=v$ (výška) je pouze pro kladné $v$ , máme pouze jeden stacionární bod použitelný pro slovní úlohu.

Tedy zde nemáme 2 kořeny, co bychom mohli použit pro obě varianty zadání (minimální obsah nebo maximální obsah). Ovšem můžeme si vymyslet zadání, že máme najit minimalní a maximální hodnotu nějaké sledované veličiny. Njespíš budeme muset mít nějaké omezení, které nás donutí optimalizovat na určitém intervalu (jelikož teď mne nenapadá, jak sestavit úlohu jen z tvaru funkce bez vazby).

Souhlasí všechno? Děkuji.

Jelec · 05. 01. 2014 00:43

↑ jelena:
Budu to dělat trochu ve spěchu, ale budiž.
Tak pokud to mám vidět, pak
$v^{2}=\mp \sqrt{3}S$ => $v=\sqrt[4]{3}\sqrt{S}$
$v=0$
No a abych to nějak upravil, tak:
$v^{4}(v^{4}-3S^{2})=0$ Z toho jdou ty kořeny taky vidět, ale vlastně jsem udělal spíš krok zpět. No to je asi vše nebo chceš ještě něco?
Já osobně si myslím, že souhlasí. Já děkuji. Ale zjistil jsem jednu věc. I když se mi zdálo, že zlomky umím celkem dobře, tak jsem byl na omylu. Nad většinou tvých úprav jsem žasl, tedy hlavně těch s odmocninami. Bohužel na škole jsme se moc neučili si takto hrát s odmocninami, tak deriivce na této nízké úrovni poměrně chápu a rozumím "o co go" a jak to udělat, ale když se po zderivování objeví nehezká odmocnina, jsem v háji :(

jelena · 05. 01. 2014 00:59

↑ Jelec:

děkuji, skoro v pořádku. Jelikož nejdřív jsme jen v R, potom berem pouze variantu $v^{2}=+\sqrt{3}S$ , odsud ale máme 2 kořeny $v=\pm \sqrt[4]{3}\sqrt{S}$ a další kořen $v=0$ .

Pro podmínky úlohy můžeme použit jen $v=\sqrt[4]{3}\sqrt{S}$ . Tuto nalezenou hodnotu bychom vyšetřovali, zda v ni nastává max nebo min.

No to je asi vše nebo chceš ještě něco?

:-) ne, já jsem nic nechtěla, jen, že jsem na téma nezapomněla. Jinak ohledně úprav - některé šlo provést jen s ohledem, že pod odmocninou je číslo kladné (což máme, nepředpokládám, že S=0). Ale snad se hodí procvičovat - pokud máš Janečka, tak na úpravy výrazů má úloh dost.Tady jsem dávala odkazy na východní sbírky (asi bude problém s formatem pro stahování - případně dej vědět, v samotném zadání už by se dalo orientovat), jsou dobré na cvičení. Ať se vede.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2014 16:46

Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#2 02. 01. 2014 16:59 — Editoval Jelec (02. 01. 2014 17:08)

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

svatý halogan napsal(a):

#3 02. 01. 2014 20:39

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#4 02. 01. 2014 20:47

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#5 02. 01. 2014 21:03

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#6 02. 01. 2014 21:12

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#7 03. 01. 2014 00:33

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#8 03. 01. 2014 01:12 — Editoval Jelec (03. 01. 2014 01:22)

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#9 03. 01. 2014 13:11

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#10 03. 01. 2014 13:26 — Editoval Jelec (03. 01. 2014 13:29)

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#11 05. 01. 2014 00:04

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#12 05. 01. 2014 00:43

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

#13 05. 01. 2014 00:59

Re: Minimální o rovnoramenného trojůhelníku při daném S

Zápatí