Matematické Fórum

Richie · 26. 01. 2009 14:20

Ahoj, potřeboval bych pomoct s tímto příkladem(resp. důkazem):
Buďte $\sum_{n=1}^{\propto}a_n$ , $\sum_{n=1}^{\propto}b_n$ dvě řady s kladnými členy. Jestliže řada $\sum_{n=1}^{\propto}b_n$ konverguje a platí $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}$ pro skoro všechna n $\in$ N, pak řada $\sum_{n=1}^{\propto}a_n$ konverguje. Dokažte.

Zkoušel sem to srovnávacím kriteriem, ale nic moc. A D'Alembertovo kriterium se také moc neosvědčilo.

lukaszh · 26. 01. 2009 14:29

↑ Richie:
Neviem ako ty, ale myslím, že to je zrejmé z tohto: Ak rad $\text{\Sigma} b_n$ konverguje, tak musí platiť
$\limsup_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}\,<\,1$
potom aj
$\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\,<\,1$
Takže konverguje aj rad $\text{\Sigma} a_n$ podľa d'Alembertovho kritéria.

Richie · 26. 01. 2009 15:18

↑ lukaszh:
Diky za odpověd, a tim srovnávacim by to myslíš nešlo?

lukaszh · 26. 01. 2009 15:41

↑ Richie:
Neviem, ale toto sa mi zdalo dostatočné.

Richie · 26. 01. 2009 15:44

↑ lukaszh:
Jasný, stejně diky, pomoh si mi.

Pavel B · 26. 01. 2009 15:48

↑ lukaszh:

$b_n:=\frac1{n^2}$ . Řada $\sum b_n$ tedy konverguje. Přesto

$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}=1\not{<}1$

lukaszh · 26. 01. 2009 15:50

↑ Pavel B:
Už nám tu chýbaš. Nemá ma kto opravovať :-) Dúfam, že čoskoro už vyriešiš tú nerovnosť...

Pavel B · 26. 01. 2009 16:04

↑ lukaszh:

No dobře, když už se sem pletu, tak to vyřeším :-)

Existuje jisté k takové, že nerovnost platí pro všechna n>k.

$a_{n+1}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n}a_{n}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\ \cdots\ \cdot \frac{a_{k+1}}{a_{k}}\cdot a_{k}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\frac{b_{n}}{b_{n-1}}\cdot\frac{b_{n-1}}{b_{n-2}}\cdot\ \cdots\ \cdot \frac{b_{k+1}}{b_{k}}\cdot a_{k}=\frac{a_k}{b_k}\cdot b_{n+1}$

Když řadu přenásobíme konstantou, konvergence se nemění. Už jen stačí použít srovnávací kritérium.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2009 14:20

Řady s kladnými členy

#2 26. 01. 2009 14:29

Re: Řady s kladnými členy

#3 26. 01. 2009 15:18

Re: Řady s kladnými členy

#4 26. 01. 2009 15:41

Re: Řady s kladnými členy

#5 26. 01. 2009 15:44

Re: Řady s kladnými členy

#6 26. 01. 2009 15:48

Re: Řady s kladnými členy

#7 26. 01. 2009 15:50

Re: Řady s kladnými členy

#8 26. 01. 2009 16:04

Re: Řady s kladnými členy

Zápatí