Matematické Fórum

Peterslovak · 01. 01. 2014 19:43

Dobrý večer, neviem si rady s týmto príkladom, potreboval bv som postup a skrátený tvar na konci.

(z-x).(y-x).(z-y).(x+y+z)=

Ak nedáva tento príklad zmysel, nepočítajte to lebo to mám skrátené z jedného textu. Ďakujem.

Arabela · 01. 01. 2014 20:04

Ahoj ↑ Peterslovak:,
po roznásobení zátvoriek sa dosť veľa členov vyruší a zostane
$x^{3}z-x^{3}y-xz^{3}+xy^{3}+yz^{3}-y^{3}z$

Peterslovak · 01. 01. 2014 20:10

Díki moc

Peterslovak · 01. 01. 2014 20:38

Mohol by som poprosiť o postup, vdaka.

Arabela · 01. 01. 2014 21:25

↑ Peterslovak:
roznásobila som navzájom prvé dve zátvorkya druhé dve zátvorky a dostala som
$(zy-xz-xy+x^{2})(zx+yz+z^{2}-xy-y^{2}-yz)$ ,
yz a -yz v druhej zátvorke sa ruší.
A opäť roznásobiť...

Peterslovak · 02. 01. 2014 07:38

Mne to vyšlo:
-zy3 + xy3+ zx3-x3y

Tie trojky majú byť trochu vyšie, je to správne? Nie je to náhodou skrátený tvar?

Peterslovak · 02. 01. 2014 08:10

V tomto príklade asi ide o tom že za neznáme môžeme dosadiť rozne kladné čísla a výsledok je bud deliteľný tromi alebo nie.

Arabela · 02. 01. 2014 09:51

↑ Peterslovak:
niekde Ti tam vypadlo $-xz^{3}+yz^{3}$ ;
výsledok má byť taký, ako som uviedla už skôr. Treba byť veľmi pozorný pri tom roznásobovaní.
Pokiaľ nenapíšeš presne text pôvodnej úlohy, asi sa ďalej nedostaneme...:(

Peterslovak · 02. 01. 2014 12:31

Mám lego, bolo v toľkých krabiciach , koľko bol súčet vekov všetkých troch mojich bratov . Počet dielov lega v každej krabici bol rovnaký ako rozdiel vekov najstaršieho a prostredného môjho brata. Každý dielik lega ma toľko stien, koľko bol rozdiel vekov medzi prostredným a najmladším bratom. Počet nálepiek na každej stene lega bol rovnaký ako rozdiel vekov medzi najstarším a najmladším bratom.
Dajú sa nálepky z lega rozdeliť na tri kôpky rovnomerne?

Peterslovak · 02. 01. 2014 14:09

$\langle z-x\rangle.\langle y-x\rangle.\langle z-y\rangle.\langle x+ y +z\rangle$

$\langle zy-zx-xy+x^{2}\rangle.\langle zx+z^{2}-yx-y^{2}\rangle$

$= z^{2}yx+z^{3}y-zy{3}x-zy^{3}-z^{2}x^{2}-z^{3}x+zx^{2}y+zxy^{2}- zx^{2}y-z^{2}xy+x^{2}y^{2}+ xy^{3}+zx^{3}+x^{2}z_{2}-yx^{3}-x^{2}y^{2} = z^{3}y-zy^{3}-z^{3}x+xy^{3}+zx^{3}-yx^{3}$
Je to dobre?

Peterslovak · 02. 01. 2014 15:06

Ten koniec nie je dokončený, tady je:
= $z^{3}y-zy^{3}-z^{3}x+xy^{3}+zx^{3}-yx^{3}$

Je to to isté ako písala arabela v prípevku 2 len prehodené.

Peterslovak · 02. 01. 2014 18:58

Prosím o kontrolu, dakujem.

Arabela · 02. 01. 2014 20:54

Ahoj ↑ Peterslovak:,
prečítala som si text tej slovnej úlohy a myslím, že upravovať ho roznásobovaním nie je potrebné; dá sa ukázať, že je vždy deliteľný tromi.
$V=(z-x)(y-x)(z-y)(x+y+z)$ .
Predovšetkým je zrejmé, že ak aspoň jeden z rozdielov $z-x$ , $y-x$ , resp. $z-y$ je deliteľný tromi, potom celý výraz V je deliteľný tromi.
Ukážeme, že ak naopak žiaden z menovanýách rozdielov nie je deliteľný tromi, potom bude určite deliteľný tromi výraz x+y+z. Naozaj:
Nech platí
$z-x=3k_{1}+l_{1}$ , ............... (1)
$y-x=3k_{2}+l_{2}$ , ............... (2)
$z-y=3k_{3}+l_{3}$ ,................. (3)
kde $l_{1},l_{2},l_{3}\in \{1;2\}$ .
Potom platí
$x+y+z=x+x+3k_{2}+l_{2}+x+3k_{2}+l_{2}+3k_{3}+l_{3}=3K+2l_{2}+l_{3}$ .
Ďalej odčítaním (1) a (2) dostávame
$z-y=3k_{1}-3k_{2}+l_{1}-l_{2}$
a porovnaním s (3) dostávame $l_{3}=l_{1}-l_{2}$ , a preto
$x+y+z=...=3K+2l_{2}+l_{3}=3K+2l_{2}+l_{1}-l_{2}=3K+l_{1}+l_{2}$ .
Ak si uvedomíme, že $l_{1}\not =l_{2}$ (inak by platilo, že 3|(z-y), ako vyplýva z (1) a (2)), musí platiť $l_{1}+l_{2}=3$ ,
a tak
$x+y+z=3K+3=3L$ ,
čiže x+y+z je deliteľné tromi.
Dôkaz je hotový.

Peterslovak · 02. 01. 2014 21:35

Velmi dakujem.

Arabela · 02. 01. 2014 21:51

↑ Peterslovak:
rada som pomohla...:)

Peterslovak · 03. 01. 2014 12:44

Chcel by som sa ešte spýtať akú hodnotu má, alebo čo skrýva 3K alebo 3L vo vašom zápise, vdaka.

Arabela · 03. 01. 2014 16:05

↑ Peterslovak:
pri prvom vyjadrení x+y+z sa dá vyňať číslo tri zo všetkých členov, ktoré ho obsahujú, teda
$K=k_{2}+k_{2}+k_{3}=2k_{2}+k_{3}$ .
No a pri poslednom vyjadrení x+y+z máme
$x+y+z=3K+3=3(K+1)=3l$ ,
takže zjavne L=K+1.

Peterslovak · 03. 01. 2014 16:36

Díki

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2014 19:43

Neznáme x,y,z

#2 01. 01. 2014 20:04

Re: Neznáme x,y,z

#3 01. 01. 2014 20:10

Re: Neznáme x,y,z

#4 01. 01. 2014 20:38

Re: Neznáme x,y,z

#5 01. 01. 2014 21:25

Re: Neznáme x,y,z

#6 02. 01. 2014 07:38

Re: Neznáme x,y,z

#7 02. 01. 2014 08:10

Re: Neznáme x,y,z

#8 02. 01. 2014 09:51

Re: Neznáme x,y,z

#9 02. 01. 2014 12:31

Re: Neznáme x,y,z

#10 02. 01. 2014 14:09

Re: Neznáme x,y,z

#11 02. 01. 2014 15:06

Re: Neznáme x,y,z

#12 02. 01. 2014 18:58

Re: Neznáme x,y,z

#13 02. 01. 2014 20:54

Re: Neznáme x,y,z

#14 02. 01. 2014 21:35

Re: Neznáme x,y,z

#15 02. 01. 2014 21:51

Re: Neznáme x,y,z

#16 03. 01. 2014 12:44

Re: Neznáme x,y,z

#17 03. 01. 2014 16:05

Re: Neznáme x,y,z

#18 03. 01. 2014 16:36

Re: Neznáme x,y,z

Zápatí