Matematické Fórum

studen1 · 26. 01. 2009 13:14

Po delší době zdravim,

potřeboval bych pomoci s následujícím příkladem:

úsečka ohraničená body A (1;2) a B (4;3) rotuje kolem osy x a tím tvoří určité těleso. Určete o jaké se jedná těleso a odvoďte vzorec pro jeho objem (byl to komolý kužel).

Předem děkuji za odpovědi

Možná neni potřeba přesný výpočet ( ikdyž za něj budu samozřejmě rád), ale spíš takové postrčení. Jedna část mé zkoušky se kompletně skládá z úloh typu, že něco kolem něčeho ( osa) rotuje a tim vznikne těleso u kterého mám odvodit vzorec pro objem nebo povrch. Možná se to někomu bude zdát triviální, ale na ekonomické fakultě s matematikou tak trochu bojuji.....

lukaszh · 26. 01. 2009 13:33

↑ studen1:
No tak, keď ide o úsečku s danými koncovými bodmi, tak by si mohol vedieť, že rotáciou vznikne zrezaný kužeľ. To si dúfam, vieš nakresliť tú úsečku. Treba vytvoriť podľa tejto úsečky lineárnu funkciu a vypočítať rotáciu cez integrál s hranicami od 1 do 4.

studen1 · 26. 01. 2009 13:42

lukaszh: Děkuji za bleskovou odpověď,

samozřejmě, vim že se jedná o komolý kužel, i jsem to tam dokonce napsal. Úsečku si taky umim zobrazit, i je mi jasné jak to pak v prostoru bude vypadat, zas tak špatně na tom s matematikou nejsem. :-) V konečné fázi se poperu i s výpočtem určitého integrálu. Akorát mi nějak logicky pořád nedochází fáze té rotace, jak to lidově řečeno převést na papír, a neni to jenom tento příklad, například když mám zadán půlkruh, rotací vznikne koule a odvodit povrch apod. těch variací je spousta....

lukaszh

↑ studen1:
Vždy vychádzaš zo vzťahu pre objem valca. Keď si predstavíš, že necháš rotovať okolo osi x obdĺžnik s výškou dx a šírkou f(x):

Na obrázku je to trošku zidealizované, pretože nejde o obdĺžnik. Keď si ale predstavíš, že jeho výška je neskutočne malá: $\text{d}x$ tak sa to na taký veľmi tenký obdĺžnik podobá. Jeho šírka je f(x), teda keď ho necháš rotovať tak dostaneš valec, ktorého objem je zo vzorca pre objem valca:
$\text{d}V=\pi r^2v=\pi f^2(x)\,\text{d}x$
To je objem jedného ultra tenkého :-) elementu. Všetky elementy sú:
$\boxed{V=\pi\int_{a}^bf^2(x)\,\text{d}x}$
Teraz k tomu výpočtu. Tú úsečku ti určuje vektor $u=\vec{AB}=(3,1)$ . Zo strednej školy a z analytickej geometrie, by si mal vedieť zostaviť priamku, ktorá je určená týmto vektorom a prechádza bodmi A,B. Je to napríklad všeobecný tvar:
$p\,:\;ax+by+c=0$
Za a,b sa dosadzuje normálový vektor $u_{\bot}=(-1,3)$ a koeficient c dopočítam dosadením za x,y ľubovoľný z bodov A,B.
$-1\cdot1+3\cdot2+c=0\;\Rightarrow\;c=-5$
Priamka má tvar:
$p\,:\;-x+3y-5=0$
Vyjadrím si z rovnice y a dostávam predpis lineárnej funkcie:
$p\,:\;y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$
Túto funkciu nechám rotovať na intervale $[1,4]$ , teda iba tú úsečku:
$V=\pi\int_{1}^4$\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$^2\,\text{d}x$
Verím, že tento integrál už spočítaš.

EDIT: Domotal som výšku a šírku :-)

studen1 · 26. 01. 2009 16:06

Znovu děkuji, už to začínám trochu chápat :-) přímku jsem si spočetl poněkud jednodušeji přes 2 rovnice a dosazení obou bodů do y=ax+b, postup je vedlejší, hlavně, že jsme došli ke stejnému výsledku... Koukám teď na pár obdobných příkladů a nešlo by u těchto "rotací" říci, že tam dám vždy před integrál pí a to, co rotuje hodim na druhou?

lukaszh · 26. 01. 2009 16:15

↑ studen1:
Samozrejme. Ja som len chcel ukázať aká je v tom vzorci myšlienka. Keby si ho zabudol, tak teraz už nemáš problém ho odvodiť, no nie?

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2009 13:14

Odvození vzorce přes integrály

#2 26. 01. 2009 13:33

Re: Odvození vzorce přes integrály

#3 26. 01. 2009 13:42

Re: Odvození vzorce přes integrály

#4 26. 01. 2009 14:44 — Editoval lukaszh (26. 01. 2009 14:54)

Re: Odvození vzorce přes integrály

#5 26. 01. 2009 16:06

Re: Odvození vzorce přes integrály

#6 26. 01. 2009 16:15

Re: Odvození vzorce přes integrály

Zápatí