Matematické Fórum

stereo-total-music

Zdravím,
moc nechápu, proč vztah

$h(A_{m,n})=h(A_{m,n}|\vec{b}_{m,1})=n$

odpovídá jednomu řešení příslušné soustavy rovnic. Kombinace všech sloupcových vektorů je tedy LINEÁRNĚ NEZÁVISLÁ, a kombinace těch vektorů a vektoru pravé strany je LINEÁRNĚ ZÁVISLÁ (tedy existuje řešení). Nechápu však, proč rovnost (=n) odpovídá jednomu řešení, a nerovnost (<n) odpovídá nekonečně mnoha řešením.
Díky za nakopnutí.

LukasM · 03. 01. 2014 19:19

↑ stereo-total-music:
Tak si to napiš jako rovnice, a uvidíš. Pokud má matice plnou hodnost, po úpravě na horní stupňovitý tvar můžeš z poslední jednoznačně dopočítat poslední neznámou. Po dosazení do předposlední rovnice jednoznačně dostaneš předposlední neznámou. Atd. Řešení je jednoznačné.

Pokud matice soustavy nemá plnou hodnost, ale má třeba o jedničku menší, potom poslední rovnice vypadne, a ta předposlední už nedává jednoznačně nějakou neznámou. Dává jen vztah mezi dvěma neznámýma. Takže jednu můžu zvolit jak chci, druhou dopočítám. A pak jedu tou maticí nahoru a dopočítám (už jednoznačně) další.
Chceš-li to přes sloupce... Chceš nakombinovat vektor na pravé straně z vektorů, které už jsou LZ. Jeden z nich tedy jde vyjádřit jako LK ostatních. Takže když nějaké řešení najdu, můžu k tomu vektoru napsat jakýkoli koeficient, a změnu vždycky vykompenzuju změnou koeficientů u ostatních vektorů, aby mi vyšla zase pravá strana.

Pokud ti to takhle selsky nestačí, podívej se do skript na důkaz Frobeniovy věty.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2014 18:36 — Editoval stereo-total-music (03. 01. 2014 18:38)

Řešení soustavy lineárních rovnic

#2 03. 01. 2014 19:19

Re: Řešení soustavy lineárních rovnic

Zápatí