Matematické Fórum

Erik · 04. 01. 2014 18:05

Dobrý večer prajem. Opäť potrebujem poradiť s integrálmi. Tento krát s týmto príkladom:

$\int_{}^{}\frac{2^{x}}{1+4^{x}}dx$

Musím ho vypočítať substitučnou metódou, avšak vôbec neviem ako si to mám upraviť.
Výsledok poznám, ten by mal byť $\frac{1}{ln2}arctg2^{x} + C$

Chcem však vedieť postup, poprípade aspoň ako si to mám upraviť a čo mám následne dosadiť za t a dt.

LukasM · 04. 01. 2014 18:17

$\int_{}^{}\frac{2^{x}}{1+4^{x}}dx=\int_{}^{}\frac{2^{x}}{1+(2^2)^{x}}dx=\int_{}^{}\frac{2^{x}}{1+(2^x)^{2}}dx$

Z toho by mělo být jasné jakou substituci zvolit.

Erik · 04. 01. 2014 18:33

↑ LukasM:

Stále mi to nevychádza. Ďalej som si to upravil na $\int_{}^{}2^{x} * \frac{1}{1+(2^{x})^{2}} dx$

Subst.

t= $2^{x}$
dt= $2^{x}dx$

Po subst. som dostal
$\int_{}^{}\frac{1}{1+t^{2}}dt = arctg t +C = arctg 2^{x} + C$

Kde robím chybu?

LukasM · 04. 01. 2014 18:38

↑ Erik:
Protože neumíš derivovat. Platí $(e^x)'=e^x$ , ale to platí jen pro základ e, ne pro dvojku.
Pokud si nechceš pamatovat tabulkový vzorec, napiš si to jako $2^x=e^{ln 2^x}=e^{x\cdot ln{2}}$ a to zderivovat už zvládneš.

Erik · 04. 01. 2014 18:42

↑ LukasM:

Hlúpa chyba. Čudujem sa, že som si to neuvedomil. Ďakujem za trpezlivosť a pomoc. Teraz to už nebude problém.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2014 18:05

Integrály - substitučná metóda

#2 04. 01. 2014 18:17

Re: Integrály - substitučná metóda

#3 04. 01. 2014 18:33

Re: Integrály - substitučná metóda

#4 04. 01. 2014 18:38

Re: Integrály - substitučná metóda

#5 04. 01. 2014 18:42

Re: Integrály - substitučná metóda

Zápatí