Matematické Fórum

OrangeTree · 04. 01. 2014 20:32

Ahoj :),

řeším tento příklad:

Máme 10-stěnnou kostku (čísla 1 až 10). Každá strana padá se stejnou pravděpodobností. Kolikrát musíme hodit, aby se mezi čísly nacházela alespoň dvě sudá s pravděpodobností 0,975? K výpočtu se má použít centrální limitní věta.

Zatím jsem postupovala takto:
Jedná se o binomické rozdělení -- za úspěch považuji padnutí sudého čísla (pravděpodobnost 1/2):

$E(X) = np = n\frac{1}{2}\\ var(X) = np(1-p) = n\frac{1}{4}$

To by mohlo odpovídat normálnímu rozdělení: $X \sim Normal (\mu,\sigma^{2}) \sim Normal (\frac{n}{2},\frac{n}{4})$ .

$P (X>2) = P(\frac{X-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}} > \frac{2-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}) = P(Z > \frac{2-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}) = 0,975$

Je to tak zatím správně?

Jj · 04. 01. 2014 21:35 — Editoval Jj (04. 01. 2014 22:45)

↑ OrangeTree:

Dobrý večer,

řekl bych, že by mohlo být:

$P(X \ge 2) = 1-P(X < 2) = 1 - \Phi(\frac{2-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}) = 0.975$

$\Rightarrow \Phi(\frac{2-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}})=0.025$ , Fí(x) = distribuční funkce N(0,1)

$\frac{2-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}=-1.96 \Rightarrow n \doteq 10.3 \approx 11$

Doplnění:Výpočet pravděpodobnosti přímo pomocí binomického rozložení je hodnotě 0.975 nejbližší
při 9-ti hodech:

$\sum_{ x=2}^n {n \choose x}(1/2)^n, (n = 9), \doteq 0.980$
Provede-li se při výpočtu oprava na spojitost, pak z upravené rovnice
$\frac{2-0.5-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}=-1.96$
plyne
$n \doteq 8.8 \approx 9$