Matematické Fórum

dna40747 · 04. 01. 2014 18:39

Ahoj snažím se naučit goniometrické rovnice.
Bohužel se mi nedaří vypočítat ani ty nejlehčí.
Učím se to od tuď Odkaz

Př: //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/56641_2.PNG

1. sin x=30 stupňů

2. K čemu tam jsou ty plusy a mínusy?
Podle obrásku vím že 30 stupnu je v prvním kvadrantu, k čemu mi to je?

janca361 · 04. 01. 2014 18:49

↑ dna40747:
Hodnotu $\sin x = \frac{1}{2}$ mají dva úhly, protože hodnota sin se odečítá, jak jistě víš z osy y.
Jeden má hodnotu - jak si správně řekl - $30^\circ$ , ale ještě je jeden úhel (pokud nebudeme počítat násobky), který to o splňuje a to je úhel $180^\circ -30^\circ =150^\circ$ , který se nachází v II. kvadrantu.

Ty pomocí tabulky hodnot goniometrických funkcí pro základní úhly určíš vždy hodnotu v I. kvadrantu, ale potom se musíš pomocí jednotkové kružnice podívat, zda neexistuje ještě jiné řešení.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/57781_Sin.PNG
(Omluv mé výtvarné nadání)

Řešením rovnice jsou pak ještě všechny násobky těchto úhlů.
$x_1=30^\circ +2k \pi$
$x_2=150^\circ +2k \pi$

Lepší je to zapisovat v radiánech, vypadá to lépe ;)
$30^\circ =\frac{\pi}{6}$

dna40747 · 04. 01. 2014 19:29

Pořát, ale nechápu jaký mají vliv na výsledky ty plusy a mínusy

př: cos x= $\frac{1}{2}$

=60 stupňů

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/60103_5.PNG

$x_1=60^\circ +2k \pi$
$x_2=120^\circ +2k \pi$

gadgetka

Funkce kosinus je kladná v I. a IV. kvadrantu, proto řešením je $\frac{\pi}{3}+2k\pi$ a $2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

dna40747 · 04. 01. 2014 20:00

Jestli je funkce kladná tak to se pozná podle znaménka asi ne? cos x= $\frac{1}{2}$ je kladná

cos x= $-\frac{1}{2}$ je záporná

Takže pak by to bylo 180-60=150 a 270-60=210

$x_1=150^\circ +2k \pi$
$x_2=210^\circ +2k \pi$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/62008_3.PNG

janca361 · 04. 01. 2014 20:13

↑ dna40747:
Ještě jedna chyba na kterou ↑ gadgetka: neupozornila - cosinus se odečítá z osy x.

janca361 · 04. 01. 2014 20:20

↑ dna40747:
Pravděpodobně nevidíš, kde ten úhel je.
180-60=150 - to ti nějak nesedí.
180-60=120°

210+60=270° - ???

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/63090_Cos.PNG

$x_1$ je úhel, který je dopočet do 180° od zjištěného úhlu - z obrázku by melo být proč je to 180-60=120°
$x_2$ je 180°+60°=240° - z obrázku je to snad jasné.

Nepleť si sin a cos. Chovají se sice do jisté míry podobně, ale jsou to dvě různé funkce, které se chovají jinak.

dna40747

↑ janca361:

Ale teď jsem si všiml co jste psala víše:

(hodnota sin se odečítá, jak jistě víš z osy y) - tak proč jste to odečetla z osy x - 180-30=150 --- 180 je na ose x .

janca361 · 04. 01. 2014 20:41

↑ dna40747:
Hodnota sin pro první příklad je 1/2 - toto se odečítá na ose y.
U cosinu se tato hodnota odečítá z osy x.
Jsou to ty zelené čáry, co jsme dokreslila.
Úhel má vždy nulu (0°) na kladné poloose x ("3") a druhé rameno se otáčí proti směru hodinových ručiček, kdy na "12" má úhel velikost 90°, na "9" 180°, atd. (čísla "" udávají hodnotu na ciferníku hodin)

Zjistit si to můžeš jednoduše.
sin 0° - ramena splývají na "3" - hodnota je 0, protože y=0
sin 90° - rameno na "12" - hodnota je 1, protože y=1

cos 0° - ramena jsou vždy stejně, tedy jako u sin - hodnota 1, protože x=1
cos 90° - hodnota 0, protože x=0

dna40747

Dobrý, moc jste mi pomohla, děkuji snad to chápu ješte se chci zeptat kde má ty plusi a minusi funkce (tan) a (cot) nikde to nemohu najít.
Jinak se můžu pustit do substituce :)

janca361 · 04. 01. 2014 21:22

↑ dna40747:
tangens (tg/tan) a cotangens (cotg/cot) funguje trošku jinak

$\text{tg} \ x =\frac{\sin x}{\cos x}$ - z toho vyplývá, že je kladný tam, kde jsou sin i cos kladné (oba) nebo záporné (oba), tedy v I. a III. kvadrantu

$\text{cotg} \ x=\frac{1}{\text{tg} \ x}=\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x}{\sin x}$ , takže úplně stejně v I. a III. kvadrantu

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2014 18:39

Goniometrické rovnice

#2 04. 01. 2014 18:49

Re: Goniometrické rovnice

#3 04. 01. 2014 19:29

Re: Goniometrické rovnice

#4 04. 01. 2014 19:32 — Editoval gadgetka (04. 01. 2014 19:32)

Re: Goniometrické rovnice

#5 04. 01. 2014 20:00

Re: Goniometrické rovnice

#6 04. 01. 2014 20:13

Re: Goniometrické rovnice

#7 04. 01. 2014 20:20

Re: Goniometrické rovnice

#8 04. 01. 2014 20:29 — Editoval dna40747 (04. 01. 2014 20:31)

Re: Goniometrické rovnice

#9 04. 01. 2014 20:41

Re: Goniometrické rovnice

#10 04. 01. 2014 20:59 — Editoval dna40747 (04. 01. 2014 21:00)

Re: Goniometrické rovnice

#11 04. 01. 2014 21:22

Re: Goniometrické rovnice

Zápatí