Matematické Fórum

MarekW · 05. 01. 2014 11:45

Ahoj, nevím si rady se dvěma příklady a potřebuji s nimi trochu pomoci.
$g(x) = arccos\frac{2x}{x^{2}+1}$

Tady vůbec nevím jak to řešit.

$f(x) = 6x \log_{}\frac{x^{2}+5}{x-5}$

Tady jsem se to snažil řešit přes nulové body a došel jsem k $Df = (-\infty , 0)\cup (0, 5)\cup (5, \infty )$

Freedy · 05. 01. 2014 12:00

Arkus kosinus má definiční obor: $D_f=<-1;1>$
Takže řešíš nerovnici:
$-1<\frac{2x}{x^2+1}<1$
U dvojky stačí jen vědět že logaritmus má definiční obor všechny kladná reálná čísla bez nuly:
$\frac{x^2+5}{x-5}>0$
Takže bud budou čitatel i jmenovatel kladný, což platí pro x > 5 a nebo budou oba záporné, což nebude platit nikdy, protože v čitateli je parabola otevřená nahoru bez nulových bodů.
Takže definiční obor bude:
$D_f=(5;\infty )$

MarekW · 05. 01. 2014 12:45

Vůbec nevím, zda jsem počítal správně nebo špatně, ale definiční obor g(x) mi vyšel takto $(-\infty , -1)\cup (1, \infty )$ Je to správně? Já si tím moc jistý nejsem a přikláním se spíš k tomu, že je to blbě.

Jj · 05. 01. 2014 12:59

↑ MarekW:

Dobrý den,
pokud si dosadíte za x např. 0, tak hned vidíte, že jste počítal špatně. Nepíšete, jak jste
řešil, takže těžko soudit, kde je chyba.

MarekW · 05. 01. 2014 13:58

udělal jsem si dvě nerovnice z této. $-1<\frac{2x}{x^2+1}<1$ a ty jsem pak počítal. Nerovnice však nejsou zrovna mojí silnou stránkou. Jak se to má správně počítat?

Freedy · 06. 01. 2014 17:05 — Editoval Freedy (06. 01. 2014 17:06)

Rozděl jsi je na dvě nerovnice:
a)
$-1\le \frac{2x}{x^2+1}$ --- můžeš násobit, protože ve jmenovateli bude vždy kladné číslo:
$-x^2-1\le 2x$
$x^2+2x+1\ge 0$
$(x+1)^2\ge 0$
Takže zde vychází že to bude vždy větší rovno -1 $x\in \mathbb{R}$

b)
$\frac{2x}{x^2+1}\le 1$ --- můžeš násobit, ve jmenovateli je kladné číslo
$2x\le x^2+1$
$x^2-2x+1\ge 0$
Zde to bude vždy menší rovno 1 takže: $x\in \mathbb{R}$

Definiční obor je tedy: $D_f=\mathbb{R}$