Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj,
chtěla bych nějak dostat:
1) $\mathrm{Con}\:\mathbf{A}$ , tj. množina všech kongruencí algebry A je algebraickým uzávěrovým systémem $P(A^2)$ .
2) Z toho mi už pak vyplyne, že je $(\mathrm{Con}\:\mathbf{A},\subset)$ je algebraický svaz.

Problém je, že podle mě důkaz 1) je ve skriptech, která používám, špatně:
Jejich důkaz: Každý prvek $\theta$ z Con A je sjednocením konečně generovaných prvků, neboť
$\theta=\bigvee_{(a,b)\in \theta}[(a,b)]$ a $[(a,b)]$ jsou konečně generované.
Zde [ ] značí uzávěr v Con A a \bigvee supremum v Con A (správně bych měla psát [{(a,b)}], ale to je moc zavorek).

Problém je právě ten, že tam
a) není sjednocení, ale supremum v Con A,
b) definice algebraického uzávěrového systému je jiná: Konkrétně zde, Con A algebraicky, prave kdyz
$\forall X\subset A^2:\:[X]=\bigcup_{\substack{Y\subset X\\ |Y|<\infty}}[Y]$ ale v důkazu berou v úvahu jen $X=[X]$ .

Znáte nějaký jiný důkaz? Nebo je ten jejich dobře a něco mi nedochází?

Andrejka3

↑ Andrejka3: Ahoj.
Napadlo mě tohle:
Nechť $\emptyset \neq X\subset A^2$ . Pak $[X]=\bigvee_{x\in X}[\{x\}]=\bigcup_{i\in \mathbb{N}}\left( \bigcup_{x\in X}[\{x\}]\right)^i$ .
Teď stačí pro každý prvek $y\in [X]$ najít konečně generovaný prvek $\mathrm{Con}\:\mathbf{A}$ .
$y\in [X]\Rightarrow \exists n\in \mathbb{N}:\:y=(y_1,y_2)\in \left(\bigcup_{x\in X}[\{x\}]\right)^n$ - označme $R=\bigcup_{x\in X}[\{x\}]$ .
tedy $\exists z_1,\ldots, z_n\in A:\:y_1 R z_1 R\ldots R z_n=y_2$ .
Pak ale pro $i=1,\ldots, n \;\exists x_i\in X:\: z_{i-1} [\{x_i\}]z_i$ (z_0:=y_1), tedy $y=(y_1,y_2)\in [\{x_1,\ldots, x_n\}]$ , kde kongruence vpravo je konečně generovaná.

OiBobik · 05. 01. 2014 22:42

↑ Andrejka3:

Jen tak mimochodem: Ten důkaz, který označuješ jako "špatný", je zkrátka jen přímý důkaz toho, že $\mathrm{Con}\:\mathbf{A}$ je agebraický svaz, ne? Nebo něco přehlížím?

Andrejka3 · 05. 01. 2014 23:53

↑ OiBobik:
Ahoj, díky za reakci.
Pokud by byla každá konečně generovaná kongruence kompaktním prvkem svazu, tak jo. Což ostatně je, ale dostanu to jako důsledek toho, že ten uzávěrový systém je algebraický.
Ale možná jde vidět hned, že každá konečně generovaná kongruence kompaktním prvkem svazu. Zamyslím se nad tím.

OiBobik

↑ Andrejka3:

Aha, v tom to vězí. On ten důkaz, že 1-generované (konečně generované) kongruence jsou kompaktní vypadá dost podobně, jako ten tvůj důkaz, tj

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Takto to má možná tu výhodu, že člověk nemusí jít až do toho skládání relací, což se mi zdálo, že je potřeba v tom důkazu o tom uzávěrovém operátoru (i když v tom kroku "Pak pro $g_i$ existují kongruence $\sigma_i^j \in S$ tak, že..." se asi tiše předpokládá, že se ví, jak to funguje, takže je to jen takový optický klam).

Andrejka3

↑ OiBobik:
Aha. Díky za pomoc.
Edit: no, ten klam :D

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2014 01:05 — Editoval Andrejka3 (05. 01. 2014 01:07)

algebraický uzávěrový systém Con A

#2 05. 01. 2014 18:52 — Editoval Andrejka3 (05. 01. 2014 18:55)

Re: algebraický uzávěrový systém Con A

#3 05. 01. 2014 22:42

Re: algebraický uzávěrový systém Con A

#4 05. 01. 2014 23:53

Re: algebraický uzávěrový systém Con A

#5 06. 01. 2014 00:07 — Editoval OiBobik (06. 01. 2014 00:14)

Re: algebraický uzávěrový systém Con A

#6 06. 01. 2014 00:15 — Editoval Andrejka3 (06. 01. 2014 00:15)

Re: algebraický uzávěrový systém Con A

Zápatí