Matematické Fórum

sohal · 05. 01. 2014 21:28

Ahojte, poradi mi niekto pár praktických prikladov omezenej mnoziny, ktora ale nie je totalne omezena?
Euklidovska metrika nie je podmienkou.
Dakujem

Filip Mrhal · 05. 01. 2014 23:22

Ahoj,

příklad najdeš třeba v prostoru $\ell^\infty$ . To je prostor jistých posloupností takových, že jejich maximová norma je konečná. Maximová norma je taková, že pokud $x=\{x_n\}$ je posloupnost, tak $\parallel x\parallel_\infty=\underset{i\in\mathbb{N}}{\max} |x_i|$ . Čili je to skoro jako maximová norma třeba v rovině, ale nekonečná.

Nyní si vezmi množinu, která vypadá trošku jako "kanonická báze" $\mathbb{R}^n$ , ale nekonečná...čili množinu $X=\{(1,0,0,....),(0,1,0,...),(0,0,1,0,....),...\}$ . Všechny ty prvky jsou jistě v jednotkové kouli v tom prostoru, což je omezená množina. Jenže ta jednotková koule není kompaktní.

Konkrétně tahle množina určitě není totálně omezená, protože to by pro každé $\varepsilon>0$ musela jít pokrýt otevřenými koulemi (spočetně mnoha) o tom poloměru. Nechť třeba $\varepsilon=\dfrac{1}{2}$ . Přirozeně se nabízí koule se středy v bodech množiny X. Ty ale nemohou mít průnik s žádným jiným prvkem té množiny, protože vzdálenost každých dvou prvků je 1. Čili pokrývající množina je nespočetná...není to totálně omezená množina.

V konečně dimenzionálních prostorech nevím, jestli může existovat. V prostorech nekonečné dimenze jistě, protože tam jednotková koule nebývá kompaktní.

Snad to pomohlo.

sohal · 06. 01. 2014 00:19

jasne pomohlo, mam o tom vacsiu predstavu. A keby sa drzime v $\mathbb{R}$ s diskretnou metrikou? Nebol by nejaky interval napr. $\langle1,3\rangle$ tiez riesenim? Neviem si odovodnit ci splna to, ze nie je totalne omezeny pri diskretnej metrike.

Brano · 06. 01. 2014 00:31 — Editoval Brano (06. 01. 2014 00:31)

↑ sohal:
Ano - totizto uplne vseobecne, ak na $X$ vezmes diskretnu metriku, tak cele $X$ je ohranicene a teda aj kazda jeho podmnozina je ohranicena, ale totalne ohranicene su iba konecne podmnoziny.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2014 21:28

omezena mnozina

#2 05. 01. 2014 23:22

Re: omezena mnozina

#3 06. 01. 2014 00:19

Re: omezena mnozina

#4 06. 01. 2014 00:31 — Editoval Brano (06. 01. 2014 00:31)

Re: omezena mnozina

Zápatí