Matematické Fórum

MaxDJs · 06. 01. 2014 23:00

Zdravím,

mohl by mi někdo poradit jak dokázat, že těleso $\mathbb{Z}_p$ , kde p je prvočíslo splňuje tyto axiomy

1) $\mathbb{Z}_p$ s operací "+" je komutativní grupa. Neutrální prvek je 0.
2) $\mathbb{Z}_p$ s operací " $\cdot$ " je komutativní grupa. Neutrální prvek je 1.
3) Operace "+" a " $\cdot$ " splňují distributivní zákon: $a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

1)
I)
$(x \oplus y) \oplus z = ((x + y)\ mod\ p) + z\ mod\ p = ((y + x)\ mod\ p) + z\ mod\ p = ..... = x \oplus (y \oplus z)$
nevím jak postupovat dál
II)
$\mathrm{e} \oplus x = x \oplus \mathrm{e} = x$
jak dokázat, že neutrální prvek je 0?
III)
$x \oplus y = y \oplus x = \mathrm{e}$
Jak dokázat inverzní prvek?

2)
II)
$\mathrm{e} \otimes x = x \otimes \mathrm{e} = x$
jak dokázat, že neutrální prvek je 1?
III)
Inverzní prvek je totožný pro sčítání i násobení?

3)
$(x \oplus y) \otimes z = (x + y\ mod\ p) \otimes z\ mod\ p = .... = (x \otimes z) \oplus (y \oplus z)$
Nevím jak postupovat dál

Díky za odpověď

Andrejka3

↑ MaxDJs:
Ahoj, co třeba zkusit dokázat:
$((a+b)\mathrm{mod}\:p+ c)\mathrm{mod}\:p=(a+b+c)\mathrm{mod} \:p$ ?
Tj.
$p\mid (a+b)\mathrm{mod}\:p+ c-(a+b+c)$ .
Edit a jaké prvky jste si říkali, že to těleso má?

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2014 23:00

Důkaz, že těleso Zp splňuje axiomy komutativní grupy

#2 06. 01. 2014 23:35 — Editoval Andrejka3 (06. 01. 2014 23:37)

Re: Důkaz, že těleso Zp splňuje axiomy komutativní grupy

Zápatí