Matematické Fórum

nikkiL · 07. 01. 2014 16:16

1. V A4 udejte příklad nadroviny zadané neparametricky rovnoběžné se směrem s=(1,0,1,0)
2. Uveďte příklad dvou přímek procházejících bodem A=[0,1], které mají odchylku 45 stupňů.
3. Určete rovnici přímky a, která prochází bodem A=[1,2,3] a která je rovnoběžná s přímkou p zadanou rovnicemi x+y=0 a zároveň y-z+2=0
4. Jsou dány body A=[0,7], B=[9,-4]a kružnice k:(x-3) nadruhou + (y+1) nadruhou=9. Znázorněte afinní obal množiny M={A,B,k}
5.V A3 uveďte příklad dvou rovnoběžných rovin

Freedy · 07. 01. 2014 16:30

1) nevím, pro lepší pochopení, v prostoru máš nějaký směrový vektor. Obecnou rovnici roviny můžeš zadat pokud znáš kolmý vektor, nikoliv rovnoběžný. Tudíž takovejch rovin, popřípadě nadrovin by mohlo být nekonečně mnoho.

2) odchylka směrových, nebo normálových vektorů těchto dvou přímek musí být 45°. To znamená že hledáš takové u a v aby platilo:
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
Stačí si jeden vektor zvolit a druhý dopočítat

3) uděláš si průsečnici rovin
$x+y=0$
$y-z+2=0$
Například si zvolíš x=0 a máš: z=2 a y=0 --- A[0;0;2]
Další bod například x = 2 a máš z = 0 a y=-2 --- B[2;-2;0]
Směrový vektor těchto dvou přímek je teda: u = (2;-2;-2) = (1;-1;-1) A prochází bodem [1;2;3] takže přímka p:
$x=1+t$
$y=2-t$
$z=3-t,\space \space \space \space t\in \mathbb{R}$

5) různoběžné roviny jsou všechny, které nejsou totožně nebo rovnoběžné. Čili jakékoliv dvě rovnice roviny, jejichž normálové vektory nejsou ve vztahu k-násobku

nikkiL · 07. 01. 2014 16:42

↑ Freedy:
nevis prosim u té jedničky a petky konkretní priklady?

Freedy · 07. 01. 2014 17:01

Analytickou geometrii v $\mathbb{R}^4$ jsem se neučil, čili neumím určit kolmý vektor ke třem různým vektorům.
Musel by si najít takový vektor pro který by platilo:
$\vec{w}\perp (1;0;1;0)\wedge (u_1;u_2;u_3;u_4)\wedge (v_1;v_2;v_3;v_4)$
Potom by rovnice dané nadroviny byla:
$w_1x+w_2y+w_3z+w_4\sigma +e=0$

U pětky ti opět říkám, že jsou to rovnice jakýchkoliv dvou rovin, které nejsou totožné nebo rovnoběžné. Rovina ve tvaru:
$ax+by+cz+d=0$
je různoběžná s rovinou:
$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$
pokud neexistuje takové $k\in \mathbb{R}$ které by vyhovovalo rovnici:
$(a;b;c)=k(a_1;b_1;c_1)$

nikkiL · 07. 01. 2014 17:04

↑ Freedy:
Děkuju :) a jeste u te dvojky se mi nedari nejak dopocitat ten druhy vektor

Freedy · 07. 01. 2014 17:15

Pokud má platit:
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)}}$
$\sqrt{2(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)}=2u_1v_1+2u_2v_2$

tady z toho vztahu lze vidět, že nejspíš budou dva ty vektory ke každému (jeden po směru druhý proti směru hodinových ručiček)
$2(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=4u_1^2v_1^2+8u_1u_2v_1v_2+4u_2^2v_2^2$
$(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=2u_1^2v_1^2+4u_1u_2v_1v_2+2u_2^2v_2^2$
$u_1^2v_1^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2+u_2^2v_2^2=2u_1^2v_1^2+4u_1u_2v_1v_2+2u_2^2v_2^2$
$u_1^2v_1^2-u_1^2v_2^2-u_2^2v_1^2+4u_1u_2v_1v_2+u_2^2v_2^2=0$

Zdá se že víc už to neupravím. Ale to je jedno, není potřeba mít v hlavě vzorec v jakém vztahu jsou vektory které svírají 45°.
Zvolíš si například vektor u = (1;1) a dosdíš:
$v_1^2-v_2^2-v_1^2+4v_1v_2+v_2^2=0$
$4v_1v_2=0$
Takže zde vidíš, že stačí aby byl jeden činitel nula. Takže jsou dvě řešení (je jich nekonečně mnoho samozřejmě, kvůli k-násobku vektoru)
$\vec{v}_1=(0;k),k\in \mathbb{R}$
$\vec{v}_2=(l;0),l\in \mathbb{R}$