Matematické Fórum

auditor

Chtěl bych poprosit o nasměrování k řešení limity.

$\lim_{n\to\infty }(\sin n+\frac{\sin ^{2}(\frac{1}{x})+\frac{3}{n^{3}}}{1-\cos (\frac{1}{n})}).\frac{2^{n}}{n^{4}}$

Zejména části s 1 - cos (1/n). Předem děkuji za pomoc.

Tomas.P

↑ auditor:
Ahoj, část s 1-cos(1/n) bych řešil takto:
1. $sin^{2}\left(\frac{1}{n}\right)=1-cos^{2}\left(\frac{1}{n}\right)$
2. $\frac{1-cos^{2}\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{3}{n^{3}}}{1-cos\left(\frac{1}{n}\right)}$ , kde využijeme faktu, že $1-cos^{2}\left(\frac{1}{n}\right)=\left(1-cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\cdot \left(1+cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
3. dostáváme tak $\frac{\left(1-cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\cdot \left(1+cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)+\frac{3}{n^{3}}}{\left(1-cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)}=1+cos\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{3}{n}\left(\frac{\frac{1}{n^{2}}}{1-cos\left(\frac{1}{n}\right)}\right)$
4. provedeme substituci $u=\frac{1}{n},{n\to\infty },proto:{u\to0}$ a můžeme psát $\lim_{u\to0} \left(1+cos\left(u\right)+3u\left(\frac{u^{2}}{1-cos\left(u\right)}\right)\right)$ , kde $\lim_{u\to0}\left(\frac{u^{2}}{1-cos\left(u\right)}\right)$ je převrácenou 5.tabulkovou limitou.