Matematické Fórum

petr666 · 08. 01. 2014 07:44

Zadání:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/63313_4.PNG

Je mi jasné, že postup bude obdobný jako u ostatních integrálů, které jsem sem již dával. Základ je že musím nějak upravit rovnici pro parabolu, abych dostal omezující podmínky. Nevím jak bych měl upravit rovnici paraboly a co s omezujícími body A a B? Děkuji za rady. :)

Jj · 08. 01. 2014 10:54 — Editoval Jj (09. 01. 2014 16:46)

↑ petr666:

Dobrý den,
parabola $_{y^2=x-4}$ má vrchol v bodě (4,0), osu v ose x a je "otevřená" doprava. Graf má jednu část
pod osou x ( $_{y=-\sqrt{x-4}}$ ), druhou nad ní ( $_{y=\sqrt{x-4}}$ ). Oba zadané krajní body leží v oblasti
grafu $_{y=\sqrt{x-4}}$ , pro výpočet se bude uvažovat jen tato část pro $< 4\le x \le 8>$ .

Edit: Dolplněna schézející mez intervalu.

petr666 · 08. 01. 2014 12:18

↑ Jj:

Chtěl bych se zeptat, co je myšleno tímto $< \le x \le 8>$ nějak se v tom ztácím nemělo by to být zapsáno jako $< 4 \le x \le 8>$ . Děkuji :)

petr666 · 08. 01. 2014 13:22

↑ Jj:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/83724_IMAG0757%255B1%255D.jpg

Takto? do a jak dál, ale nemám tušení... :) Děkuji

Jj · 09. 01. 2014 18:13 — Editoval Jj (09. 01. 2014 18:47)

↑ petr666:

Díky za upozornění na scházející dolní mez intervalu - doplnil jsem.

Pro výpočet křivkového integrálu podél $_{y=\sqrt{x-4}}$ můžeme křivku vhodně parametrizovat:

$x = t^2+4 \Rightarrow y = t, dx = 2tdt, dy = dt$ , bod A(4,0) při t = 0, Bod B(8,2) při t = 2,
vše dosadit do integrálu:
$\int_{K}^{}\frac{y}{x}dx+xydy = \int_{t=0}^{t=2}$\frac{2t^2}{t^2+4}+t^3+4t$dt=$
$=\[\frac{t^4}{4}+2t^2\]_{0}^{2}+2\int_{0}^{2}$\frac{t^2+4-4}{t^2+4}$dt=12+2\int_{0}^{2}$1-\frac{4}{t^2+4}$dt=$
$=12+2\[t-2arctg{\frac{t}{2}}\]_{0}^{2}=12+2(2-2arctg(1)-0+2arctg(0))=$
$12+2(2-2arctg(1)-0+2arctg(0))=12+2(2-2\frac{\pi}{4})=16-\pi$

Wolfram dává stejný výsledek: Odkaz

Paremetrizace křivky není povinná, při složitěji "zohýbané" křivce může být přímý výpočet dost složitější.

Wolfram bez parametrizace - stejný výsledek: Odkaz