Matematické Fórum

kryštof · 06. 01. 2014 22:44

Ahoj, nedokážu asi sám vyřešit tohle: přes kládu o poloměru r je vedeno lano, na kterém je zavěšeno závaží hmotnosti m. Lano je u země připevněno. Jaká síla působí na závěs, je-li součinitel klidového tření mezi lanem a kládou f?

medvidek · 07. 01. 2014 02:10

↑ kryštof:
Ahoj, nevím jistě, zda tomu zadání rozumím, ale myslím, že jsme zde již podobnou úlohu řešili.

kryštof

↑ medvidek:
To je v podstatě úplně tatáž úloha, dík, ale mohl bys mi to trochu víc vysvětlit? Např. mi není moc jasný, proč $dF_n(l)=\frac{F(l)}{r}dl$ . Nemám taky úplně představu, co přesně představuje podélné pnutí.

medvidek · 08. 01. 2014 02:52

↑ kryštof:
$F(l)$ je napětí lana, neboli síla, kterou je lano podélně natahováno. V místech, kde se lano nedotýká klády, je $F(l)$ konstantní (tíhu lana zanedbáváme). $F(l)$ se mění akorát v místech dotyku lana s kládou v důsledku tření. Smyslem úlohy je zjistit závislost této síly na délce dotyku, nebo ještě lépe závislost na míře obtočení (úhlu $\alpha$ ).

V dalším textu naznačím odvození vztahu $\mathrm d F_n(\alpha)=F(\alpha) \mathrm d \alpha$ .

Představme si, že máme lano, které je napnuté silou $F$ a jen zlehka se opírá o válcovou kládu. Průhyb lana v místě dotyku bude velmi malý, označíme ho $\mathrm d \alpha$ . Je to úhel, o který se lano odchýlí od přímého směru, a je to zároveň úhel určující velikost oblouku, na němž se lano dotýká klády. Celkovou sílu, kterou tlačí lano na kládu označme $\mathrm d F_n$ . Její velikost lze odvodit např. ze silového rovnoběžníku ( $\mathrm d F_n$ je součtem dvou stejně velkých sil $F$ svírajících úhel $\pi - \mathrm d \alpha$ ). V tomto rovnoběžníku platí
$\sin $ \frac{\mathrm d \alpha}{2} $=\frac{\frac{\mathrm d F_n}{2}}{F}$
a pokud se velikost úhlu $\mathrm d \alpha$ limitně blíží k 0, pak $\frac{\mathrm d \alpha}{2}=\frac{\frac{\mathrm d F_n}{2}}{F}$ .

To už je jen jinak zapsaný výše uvedený vztah pro $\mathrm d F_n(\alpha)$ , který jsme chtěli odvodit. Vztah pro $\mathrm d F_n(l)$ , na který se ptáš, lze odvodit obdobně, ale jak se ukazuje, je to krok navíc při řešení této úlohy.

----------------
Takovéto úlohy máte na gymnáziu v rámci výuky?