Matematické Fórum

luciezapl · 15. 12. 2013 20:10

Dokažte: je-li Fermatovo číslo ${2}^a +1$ prvočíslem, je nutně $a= {2}^n$ , n náleží N.
Pište a ve tvaru ${2}^bc$ , kde c je liché číslo, předpokládejte c>1 a užijte vzorec: ${x}^c+{y}^c=(x+y)({x}^{c-1}- {x}^{c-2}y+...-x{y}^{c-2}+{y}^{c-1})$ pro $x= {2}^b$ a $y=1$ .

Prosím, poradil by mi někdo?
Dosadím do vzorce za x a za y, poupravuji rovnici, ale nevím jak dál.
Dosazením jsem dostala: ${2}^{bc}+1= ({2}^b+1)({2}^{bc-b}-{2}^{bc-2b}+...-{2}^b*{1}^{c-2}+{1}^{c-1}$

Přemýšlela jsem nad dělením celé rovnice výrazem ${2}^b+1$ , ale nevím, zda by mi to pomohlo.
Budu moc ráda za pomoc. Děkuji.

vojta_vorel · 16. 12. 2013 13:40

Ahoj

Myslím, že když do toho vzorce dosadíš $x=2^{2^b}, y=1$ , tak ti na levé straně vyjde $2^a+1$ a bude to doma.

Vojta

luciezapl · 20. 12. 2013 10:10

↑ vojta_vorel:

Mockrát děkuji.

verca01 · 07. 01. 2014 12:24

Ahoj, mohla bych se zeptat jak se tady tohle počítá? Máme ten stejný příklad za úlohu ale nějak tomu nerozumím. Děkuji moc za odpověď.

vojta_vorel · 07. 01. 2014 15:11

↑ verca01:
Ahoj. Já jsem si to představil jako důkaz sporem. Když $a$ není tvaru $2^n$ , je $c>1$ . No a když teď do toho vzorce dosadíš $c$ a vše ostatní podle návodu, vyjde ti $2^a+1$ rozložené na součin, takže to není prvočíslo.

verca01 · 07. 01. 2014 16:09

↑ vojta_vorel:

Aha tak i tohle mi nic neříká :) On nám to dal za úkol a ani nám nikdy na přednášce nebo semináři o tomhle tématu nic neřekl. Takže vůbec nevím o co se jedná.

Já nechápu jak upravím ten vzorec tak aby vyšlo to $2^a+1$ . :) Fakt se v tom vůbec nevyznám.

luciezapl · 08. 01. 2014 21:13

↑ vojta_vorel:] Mohla bych se ještě prosím zeptat, dojdu k výsledku,který tu byl napsán,ale jak jím dokážu,že jde o prvočíslo. Moc prosím o pomoc.

vojta_vorel

Ahoj

Máme dokázat, že pro každé $a$ platí
$2^a+1 \text{ je prvočíslo} \Rightarrow a \text{ je tvaru } 2^n$ .
Pomocí toho vzorečku jsme to dokázali sporem, tedy dokázali jsme, že pro každé $a$ platí
$a \text{ není tvaru } 2^n\Rightarrow 2^a+1 \text{ není prvočíslo}$ .

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2013 20:10

fermatova čísla

#2 16. 12. 2013 13:40

Re: fermatova čísla

#3 20. 12. 2013 10:10

Re: fermatova čísla

#4 07. 01. 2014 12:24

Re: fermatova čísla

#5 07. 01. 2014 15:11

Re: fermatova čísla

#6 07. 01. 2014 16:09

Re: fermatova čísla

#7 08. 01. 2014 21:13

Re: fermatova čísla

#8 08. 01. 2014 23:41 — Editoval vojta_vorel (08. 01. 2014 23:42)

Re: fermatova čísla

Zápatí