Matematické Fórum

auditor · 08. 01. 2014 07:22

Limitu funkce

$\lim_{x\to0}(\frac{{sin (\frac{\pi }{2}-x)}}{\cos ^{2}x+12\sin ^{2}(\frac{x}{2})cos^{2}(\frac{x}{2}) })^{\frac{1}{x^{2}}}$

jsem upravil na limitu

$\lim_{x\to0}e^{(\frac{\cos x}{2-\cos 2x}){\frac{1}{x^{2}}}}$

Prosím o radu, jak pokračovat. Předem děkuji.

mic321 · 08. 01. 2014 10:49

Ahoj nevim jestli je to jenom chyba v přepisu nebo ne, ale chybí ti tam logaritmus

$\lim_{x\to0}e^{ln(\frac{\cos x}{2-\cos 2x}){\frac{1}{x^{2}}}}$

Dále můžeš pokračovat pomocí věty o limitě složené funkce a známé limity

$\lim_{y\to1}\frac{ln(y)}{y-1}$

Rumburak · 08. 01. 2014 10:51

↑ auditor:

Ta úprava není úplně dobře. Dopručoval bych

$$\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}{\cos ^{2}x+12\sin ^{2}\frac{x}{2}\cos^{2}\frac{x}{2} }$^{\frac{1}{x^{2}}}=$\frac{\cos x }{\cos ^{2}x+ 3 \sin^2 x }$^{\frac{1}{x^{2}}}=\\=$\frac{\cos x }{3 - 2\cos^2 x }$^{\frac{1}{x^{2}}}= \mathrm{e}^{x^{-2} \ln \frac{\cos x }{3 - 2\cos^2 x }}$

a nyní počítat limitu exponentu s využitím vztahu $\lim_{t \to 0} \frac {\ln (1 + t)}{t} = 1$ .

auditor · 08. 01. 2014 17:22

↑ Rumburak:

Ln mi vypadlo při opisování. Děkuji moc za nápovědu. Bohužel nemohu přijít na to, čemu se rovná t. Prosím ještě o nasměrování. Děkuji.

Rumburak

↑ auditor:

Zde $\lim_{t \to 0} \frac {\ln (1 + t)}{t} = 1$ je $t$ proměnná, podle které se provádí limitní přechod.
S uvedenou formulí lze pracovat jako se vzorcem . Pomocí věty o limitě složené funkce z něj plyne např.

$\lim_{x \to \pi} \frac {\ln (1 + \sin x)}{\sin x} = 1$ .

auditor · 08. 01. 2014 23:17

↑ Rumburak:

Děkuji za pomoc. Rozumím doporučeného vztahu. Nicméně stále se mi nedaří jej vhodně aplikovat. Zkusil jsem například dosadit takto $\lim_{x\to\pi }\frac{\ln \frac{\cos x}{3-2cos^{2}x}}{\frac{\cos x}{3-2cos^{2}x}-1}=1$

Pak nevím, jak naložit se zbývajícím výrazem: $\frac{\frac{\cos x}{3-2cos^{2}x}-1}{x^{2}}$

Rumburak

↑ auditor:

To x se mé ale blížit k 0 a ne k pi.
Dále :
$\frac{\frac{\cos x}{3-2cos^{2}x}-1}{x^{2}} =\frac{\sin^2x}{x^2} \cdot \frac{\frac{\cos x}{3-2cos^{2}x}-1}{\sin^2 x}$ ,

kde limita prvního zlomku je 1, tím se to dál zjednoduší na výpočet limity druhého zlomku. Substitucí $u = \cos x \to 1_{-}$

se pak zbavíme goniometrických funkcí.

auditor · 09. 01. 2014 19:54

↑ Rumburak:

Děkuji moc za pomoc.

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2014 07:22

Limita funkce

#2 08. 01. 2014 10:49

Re: Limita funkce

#3 08. 01. 2014 10:51

Re: Limita funkce

#4 08. 01. 2014 17:22

Re: Limita funkce

#5 08. 01. 2014 17:42 — Editoval Rumburak (08. 01. 2014 17:42)

Re: Limita funkce

#6 08. 01. 2014 23:17

Re: Limita funkce

#7 09. 01. 2014 10:49 — Editoval Rumburak (10. 01. 2014 09:25)

Re: Limita funkce

#8 09. 01. 2014 19:54

Re: Limita funkce

Zápatí