Matematické Fórum

Sajmon9114 · 08. 01. 2014 11:23

Ahoj, potřeboval bych zjistit definitnost symetrické matice, která má nenulovou vedlejší diagonálu a na ostatních místech je nulová. Na diagonální matici lze takováto matice převést symetrickými úpravami, ale pokud člověk nechce udělat chybu, je to poměrně zdlouhavý proces, tak jsem se pokoušel objevit nějaká pravidlo s obecnou platností. Dejme tomu, že máme matici $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)$ . Tato matice se mi podařila upravit na tvar $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)$ , tedy jsem jedničky "přesunul na hlavní diagonálu a u jedné z nich změnil znaménko". Matice je tedy indefinitní. Platí nějaké takové pravidlo obecně i pro například matice o vyšším počtu sloupců a řádků?

Formol · 08. 01. 2014 13:39

↑ Sajmon9114:
Ahoj,
zkus na to jít na trochu obecnější úrovni než jsou pravidla pro posouzení definitnosti matice. Velmi snadno (a doufám, že jsem neudělal chybu) nahlédneš, že pro kvadratickou formu určenou maticí s jedničkami na vedlejší diagonále a nulami všude jinde platí:

Pro libovolné konečné n můžeš zvolit vektory u=(1,0,0,...0,1) a v=(1,0,0,...,0,0,-1). Kvadratická forma má hodnotu Q(u)=2 a Q(v)=-2. Takže matice odpovídající této kvadratické formě bude vždy indefinitní.

Sajmon9114 · 09. 01. 2014 14:10

Ahoj, děkuji, to je vlastně pravda, že se na to lze dívat i takto. Díky za radu :)

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2014 11:23

Definitnost matice

#2 08. 01. 2014 13:39

Re: Definitnost matice

#3 09. 01. 2014 14:10

Re: Definitnost matice

Zápatí