Matematické Fórum

Bajiji · 10. 01. 2014 17:39 — Editoval Bajiji (10. 01. 2014 17:40)

Mám zadání: $\int_{}^{}\frac{2}{x^{2}-x+1} dx$

Vytkla jsem si teda dvojku a získala jsem $2\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}-x+1} dx$
Upravím na čtverec: $x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$

$2\int_{\frac{}{}}^{}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

Zavedu substituci $t=x+\frac{1}2{}$

no a potom bych to řešila podle vzorce..ovšem má vyjít $\frac{\sqrt{3}}{3}* arctg \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+c$

Jenže já se pořád nemůžu nějak dopočítat tomu výsledku - nevím, kdy tam tu vytklou dvojku zase dopočítám, abych dostala to $2x-1$ v argumetu u arctg...

Děkuji všem moc za rady a pomoc s výpočtem :)

Takjo · 10. 01. 2014 17:59

↑ Bajiji:
Dobrý den,
musíte si ještě trochu pohrát s jmenovatelem $(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$ , protože místo $\frac{3}{4}$ musíte dostat $1$ .
Z jmenovatele je tedy ještě třeba vytknout $\frac{3}{4}$ a upravit.

Freedy · 10. 01. 2014 17:59

$\int_{}^{}\frac{1}{x^2+px+q}dx=\frac{1}{\sqrt{q-(\frac{p}{2})^2}}arcctg\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-(\frac{p}{2})^2}}+c$

Takže stačí to jen dosadit:
$2\int_{}^{}\frac{1}{x^2-x+1}dx=\frac{4}{\sqrt{3}}arcctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+c$

Bajiji · 10. 01. 2014 18:11

↑ Freedy:

Děkujiii..a jinak než přes vzorec by to nešlo??

Takjo · 10. 01. 2014 19:51

↑ Bajiji:
Dobrý večer,
zkusme pokračovat:
$2\int_{\frac{}{}}^{}\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}dx=2\int_{\frac{}{}}^{}\frac{1}{(\frac{2x-1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}dx=\frac{2}{\frac{3}{4}}\int_{\frac{}{}}^{}\frac{1}{\frac{(\frac{2x-1}{2})^{2}}{\frac{3}{4}}+1}dx=$
$=\frac{2\cdot 4}{3}\int_{\frac{}{}}^{}\frac{1}{\frac{(\frac{2x-1}{2})^{2}}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}+1}dx=\frac{2\cdot 4}{3}\int_{\frac{}{}}^{}\frac{1}{{(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})^{2}}+1}dx=$

A teď použijte substituci $t=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2014 17:39 — Editoval Bajiji (10. 01. 2014 17:40)

integrace pomocí doplnění na čtverec

#2 10. 01. 2014 17:59

Re: integrace pomocí doplnění na čtverec

#3 10. 01. 2014 17:59

Re: integrace pomocí doplnění na čtverec

#4 10. 01. 2014 18:11

Re: integrace pomocí doplnění na čtverec

#5 10. 01. 2014 19:51

Re: integrace pomocí doplnění na čtverec

Zápatí