Matematické Fórum

Utopená kalkulačka · 07. 01. 2014 00:14

Ahoj,

upravuju ty výrazy, jak můžu, ale nejde mi to tak, abych získal nějaký definovaný tvar:
1) $\lim \sqrt{2n^{2}+n}-n$
1.1 Rozšířím zlomkem: $\frac{\sqrt{2n^{2}+n}+n}{\sqrt{2n^{2}+n}+n}$
1.2 Získám tvar: $\frac{{2n^{2}+n}-n^{2}}{\sqrt{2n^{2}+n}+n}$
1.3 Ten upravím na tvar: $\frac{{n^{2}+n}}{\sqrt{2n^{2}+n}+n}=\frac{n(n+1)}{{\sqrt{n(2n+1)}+n}}$
1.4 V čitateli vychází: $\infty$ , ve jmenovateli taky: $\infty$ , to je nedefinované...
- zkoušel jsem další úpravy, ale nějak se vždycky dopracoval k $\frac{\infty}{\infty }$
- nevíte, co by pomohlo?

2) $\lim \frac{(-1)^{n}}{4n-3}$
2.1 Vydělím 4n: $\lim \frac{(-\frac{1}{4})^{n}}{1-\frac{3}{4^{n}}}$
2.2 Ve jmenovateli mi vychází: 1
2.3 A čitatel podle všeho osciluje
- z tohoto jsou všechny moje smysly totálně mimo, tak jestli byste mi neukázali nějaký směr k výsledku (0)?

3) $\lim \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{(\frac{1}{3})^{n}+(\frac{1}{4})^{n}}$
3.1 Čísla: $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4} \in (-1,1)$
3.2 Pravidlo: $X^{\infty }=0, X\in (-1,1)$
3.3 Získám: $\frac{1-0}{0+0}=\frac{1}{0}=\infty$
3.4 Využil jsem pravidlo, že se k nule blížím z plusu ( $+\infty$ ) a pro číslo platí $1>0$ , proto výsledek $\infty$
- je to tak?

Díky předem!

P.S.
Předpokládal jsem, že n směřuje k nekonečnu.

Hanis · 07. 01. 2014 01:02

Ahoj,

ad 1.) vykrať nejvyšší mocninu, tj. n a dostaneš výsledek

ad 2.) spočítej limes inferior a limes superior, obě jsou 0, tedy i samotná limita je 0

ad 3.) to, jak to popisuješ, mi není moc jasné, ale výsledek je dobrý...

Utopená kalkulačka · 07. 01. 2014 21:26

↑ Hanis:

Ahoj,

1) vychází mi: $\lim \frac{(n+1)}{\frac{\sqrt{n(2n+1)}}{n}+1}$
1.1 Kazí to zase ten jmenovatel, ve kterém vychází: $\frac{\infty }{\infty }$
1.2 Nebo to mám blbě?

2) Jde to vypočítat i jinak?
- z lim sup a lim inf nejsem moc moudrej (z tohoto odkazu jsem z toho ještě víc zděšený)

3) Díky! Aspoň něco :)

Hanis · 07. 01. 2014 21:38

Ad 1.)

$\frac{{n^{2}+n}}{\sqrt{2n^{2}+n}+n}=\frac{n(n+1)}{{\sqrt{n(2n+1)}+n}}=\frac{n(n+1)}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}$

Ad 2.)

Spočítej limitu pro n liché a pro n sudé (tím se zbavíš té minus jedničky na entou). Ono je přímo vidět, že ta limita je 0.
Taky můžeš argumentovat tak, že čitatel je omezený jedničkou a jmenovatel utíká do nekonečna, takže výsledek je nula.

Utopená kalkulačka

↑ Hanis:

ad 1) Jak prosím vznikl jmenovatel v tom třetím výrazu? (ten výraz pod odmocninou? To + 1 je jasné)

ad 2) díky, díky! Tohle už zvládnu :)
- editace:
- zkoušel jsem vypočítat limitu pro n liché a pro n sudé: $\lim(-1)^{n}$
2.2.1 Pro liché vychází: -1, -1, -1,...,-1
2.2.2 Podle věty o limitě konstantní posloupnosti vychází limita rovné: -1
2.2.3 Pro suché n vychází: 1, 1, 1,...1
2.2.4 Limita na základě věty uvedené v 2.2.2 vychází: 1
2.2.5 Což znamená, že $\lim(-1)^{n}$ neexistuje?

Hanis · 09. 01. 2014 10:05 — Editoval Hanis (09. 01. 2014 10:06)

Ahoj,
z pod odmocniny vytýkáš n^2, když to vytáhneš pod odmocninu, vytkneš jenom n.

2.) limita samotné (-1)^n neexistuje ale např.
$\lim_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$

už jo, protože pro n sudé, tj. n=2k

$\lim_{k\to \infty} \frac{(-1)^{2k}}{2k}=\lim_{k\to \infty} \frac{1}{2k}=0$

a pro n liché, tj n=2k-1

$\lim_{k\to \infty} \frac{(-1)^{2k-1}}{2k-1}=- \lim_{k\to \infty} \frac{1}{2k-1}=0$

A protože se rovnají, tak existuje i původní limita.

(Ale lepší je ta argumentace s omezeností).

Utopená kalkulačka · 09. 01. 2014 23:21

Hanis napsal(a):
Ad 1.)

$\frac{{n^{2}+n}}{\sqrt{2n^{2}+n}+n}=\frac{n(n+1)}{{\sqrt{n(2n+1)}+n}}=\frac{n(n+1)}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}$

"z pod odmocniny vytýkáš n^2, když to vytáhneš pod odmocninu, vytkneš jenom n."

Jo, ale nemá tam být pak: $\frac{n(n+1)}{n\sqrt{(2+\frac{1}{n}}+1}$ ?

Jinak díky moc!

Hanis · 10. 01. 2014 00:16

Jo, má, to se omlouvám... na samotnou limitu to ale nemá vliv.

Utopená kalkulačka · 10. 01. 2014 20:08

↑ Hanis:

Jj, já jen, jestli jsem nezapomněl jak vytýkat zpod odmocniny :)

Dík!
Uzavírám.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2014 00:14

Limita posloupností III

#2 07. 01. 2014 01:02

Re: Limita posloupností III

#3 07. 01. 2014 21:26

Re: Limita posloupností III

#4 07. 01. 2014 21:38

Re: Limita posloupností III

#5 07. 01. 2014 21:53 — Editoval Utopená kalkulačka (07. 01. 2014 22:40)

Re: Limita posloupností III

#6 09. 01. 2014 10:05 — Editoval Hanis (09. 01. 2014 10:06)

Re: Limita posloupností III

#7 09. 01. 2014 23:21

Re: Limita posloupností III

Hanis napsal(a):

#8 10. 01. 2014 00:16

Re: Limita posloupností III

#9 10. 01. 2014 20:08

Re: Limita posloupností III

Zápatí