Matematické Fórum

Utopená kalkulačka

Ahoj,
měl bych tu několik nejasností s mým vysvětlením, zadání je určit reálný parametr $a$ tak, aby platilo:
1) $\lim (an^{2}-5n+1) = -\infty$
1.1 Vytknu n^2: $\lim (n^{2}(a-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^{2}}) = -\infty$
1.2 A vidím, že $\frac{5}{n},\frac{1}{n^{2}}=0$
1.3 A z toho mi plyne, že musí platit: $a<0$ , aby výsledek byl $-\infty$
1.4 V učebnici je výsledek $a\le 0$ , proč i $a=0$ ? To by bylo $\infty .0$ a to je přeci $0$ , když je to zadané úplně na začátku, ne?

2) $\lim (an^{2}-3n+n^{2})=\infty$
2.1 Vytknu n^2: $\lim (n^{2}(a-\frac{3}{n}+1)=\infty$
2.2 Vidím, že platí: $\frac{3}{n} = 0$
2.3 A aby byl výsledek $+\infty$ , musí být $a$ kladné, tedy: $a +1>0$ >> $a > -1$
- je to tak?

3) $\lim (\frac{n^{2}+1}{2n}-an)=0$
3.1 Převedu na společného jmenovatele: $\lim \frac{n^{2}+1-2an^{2}}{2n}=0$
3.2 Zkrátím n: $\lim \frac{n+\frac{1}{n}-2an}{2}=0$
3.3 A vidím, že v čitateli nulu nijak nezískám (nebo já aspoň nevím jak)... poradili byste prosím?

Díky.

Utopená kalkulačka · 11. 01. 2014 00:43

↑ Utopená kalkulačka:

ad 3)
Už vím!
3.4 Vytknu n a v čitateli získám: $n(1+\frac{1}{n^{2}}-\frac{2an}{n})$
3.5 Nule se bude muset rovnat výraz: $(1-2a)$
3.6 Výsledek: $a=\frac{1}{2}$ :))

Tak jsem aspoň něco dotáhl do konce!

Rumburak · 11. 01. 2014 12:11

↑ Utopená kalkulačka:

Ahoj. Jdeš na to zbytečně složitě a přitom poněkud nesystematicky.

Problém je v tom, že u polynomu $an^{2}-5n+1$ v proměnné $n$ může v závislosti na parametru $a$
dojít ke změně jeho stuupně - pro $a = 0$ je jeho stupeň 1 , v ostaních případech 2. Podle těchto dvou
kvalitativně odlišných situací se bude větvit i řešení úlohy .

Utopená kalkulačka · 11. 01. 2014 12:31

↑ Rumburak:

Nj, díky!

A příklad č. 2 je správně, tedy spíše postup, jak jsem na to přišel?

Rumburak · 11. 01. 2014 13:36

↑ Utopená kalkulačka:

Úlohu 2 bych jednodušeji řešil takto:

$an^{2}-3n+n^{2}=(a + 1)n^2 - 3n = bn^2 -3n = n(bn-3) , b := a+1$ .

Pro limitu činitele $(bn-3)$ existují v závislosti na $b$ 3 možnosti ...

Utopená kalkulačka · 11. 01. 2014 16:35

↑ Rumburak:

Jo, přejdu na tvůj způsob řešení, je v tom víc systému :)
Díky.

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2014 00:09 — Editoval Utopená kalkulačka (11. 01. 2014 00:36)

Limita posloupností s parametrem

#2 11. 01. 2014 00:43

Re: Limita posloupností s parametrem

#3 11. 01. 2014 12:11

Re: Limita posloupností s parametrem

#4 11. 01. 2014 12:31

Re: Limita posloupností s parametrem

#5 11. 01. 2014 13:36

Re: Limita posloupností s parametrem

#6 11. 01. 2014 16:35

Re: Limita posloupností s parametrem

Zápatí