Matematické Fórum

Hertas · 10. 01. 2014 13:34 — Editoval Hertas (10. 01. 2014 13:35)

Ahoj, mám funkční řadu:
$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{x}{((n+1)x+1)(nx+1)}$
absolutní hodnotu n-tého členu odhadnu jako (používám weierstrasse):
$|\frac{x}{((n+1)x+1)(nx+1)}|\le |\frac{x}{(n+1)nx^2}|=|\frac{1}{n^2x+nx}|\le |\frac{1}{n^2x}|$
a teď nevím, jestli je můj odhad správný a pokud je, jak určit st. konvergenci řady $|\frac{1}{n^2x}|$

Brano · 10. 01. 2014 21:02

A na akom intervale chces rovnomernu konvergenciu - ak na celom R tak mas sice spravny odhad, ale nebude ti stacit - v okoli x=0 to budes musiet zlepsit.

Brano · 10. 01. 2014 21:15

Ale v skutocnosti tu sa da urobit taky spinavy trik
$\frac{x}{((n+1)x+1)(nx+1)}=\frac{1}{nx+1}-\frac{1}{(n+1)x+1}$ a teda
$\sum_{n=1}^{N-1}\frac{x}{((n+1)x+1)(nx+1)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{Nx+1}=:g_N(x)$
a teda chces overit rovnomernu konvergenciu funkcnej POSTUPNOSTI $g_N$

$g_N(x)\to\frac{1}{x+1}=:g(x)$ bodovo - len su tam problematicke nejake body nespojitosti a x=0, ale to by presne zadanie prikladu malo riesit, ze co s nimi

a rovnomerne to asi nebude, lebo $|g_N(x)-g(x)|=\frac{1}{Nx+1}$ a to aj napr. na $R^+$ ma supremum 1.

Hertas · 11. 01. 2014 15:54

ten trik vypadá dobře, takže teď už jenom ověřit st. konvergenci tý posloupnosti jo?
jinak jediný zadání bylo najít maximální množinu, na které řada konverguje stejnoměrně

Brano · 11. 01. 2014 16:53 — Editoval Brano (11. 01. 2014 18:40)

↑ Hertas:
no - tak to je podstatne napisat do zadania, lebo ked povies, ze chcses zistit ci nieco konverguje rovnomerne, tak musis povedat kde, alebo teda sa mozes pytat taka ako si sa spytal - najst maximalnu mnozinu ...

odpoved je, ze taka neexistuje, lebo konverguje rovnomerne na kazdej mnozine tvaru $\mathbb{R}\setminus (-\epsilon,\epsilon)\setminus\{-1\}$ pre $\epsilon>0$ ale na celom $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ rovnomerne nekonverguje.

EDIT: asi tam bolo treba este vyhodit bod $x=-1$ z uvah, lebo tam ani jedna z funkcii nie je definovana.