Matematické Fórum

Meglun · 11. 01. 2014 13:25

Ahoj, nevím si rady s druhou částí příkladu:

Najděte $a\in \mathbb{R}$ tak, aby vektory $\vec{u}=(1,2,2,-1)$ , $\vec{v}=(1,0,4,1)$ a $\vec{w}=(-1,a,-1,2)$ byly lineárně závislé a pak napište vektor $\vec{w}$ jako lineární kombinaci vektorů $\vec{u}$ a $\vec{v}$

V první části jsem vypočítal, že se $a=-\frac{1}{2}$

A teď nevím jak se dopracovat k výsledku v té druhé části a ani nevím jestli mám pracovat s původním vektorm $\vec{w}$ s parametrem $a$ nebo už spočtenou hodnotou $-\frac{1}{2}$

Dopracoval jsem sem sem:
$\sim$

nebo

$\sim$

Rumburak · 11. 01. 2014 13:55

↑ Meglun:
Ahoj.

Připadá mi, že výhodnější bude řešit obě dílčí úlohy najednou.

Je zřejmé, že vektory $\vec{u}=(1,2,2,-1)$ , $\vec{v}=(1,0,4,1)$ jsou lineárné nezávislé, takže společná lineární závislost
celé trojice včetně $\vec{w}(a) =(-1,a,-1,2)$ je ekvivalentní s tvrzením, že posledně uvedený vektor je LK prvých dvou.

Celkem tedy hledáme čísla $a, b, c$ taková, aby platilo $b\vec{u} + c\vec{v} = \vec{w}(a)$ . Odtud dostanememn kýženou soustavu .

Meglun · 11. 01. 2014 14:22 — Editoval Meglun (11. 01. 2014 17:27)

↑ Rumburak:
Teď jsem to asi nepochopil. $b\vec{u} + c\vec{v} = \vec{w}(a)$ je ta soustava rovnic, kterou jsem už předtím zapsal pomocí matice jako

$\sim$

Však, když tu matici dořeším, tak mi vyjde, že nemá řešení

Meglun · 13. 01. 2014 01:07

↑ Meglun:

Tak jsem na to konečně přišel:

$\sim$ $\sim$

Kde v posledním řádku matice vyjde rovnice : $0+0=3+a$ odtud $a=-3$ , $a_{1}-\frac{3}{2}$ a $a_{2}\frac{1}{2}$
Tkaže výsledný vektor $\vec{w}=(-1,-3,-1,2)$

Rumburak · 13. 01. 2014 09:56

↑ Meglun:

Myslel jsem to následovně:

$\vec{w}(a) =(-1,a,-1,2) = -a \vec{p} + \vec{q}$ , kde $\vec{p} = (0, -1, 0, 0) , \vec{q} = (-1, 0, -1, 2)$ ,

takže rovnici $b\vec{u} + c\vec{v} = \vec{w}(a)$ můžeme přepsat do tvaru $b\vec{u} + c\vec{v}+ a\vec{p} = \vec{q}$ a už standardně ji řešit.

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2014 13:25

Lineární prostory

#2 11. 01. 2014 13:55

Re: Lineární prostory

#3 11. 01. 2014 14:22 — Editoval Meglun (11. 01. 2014 17:27)

Re: Lineární prostory

#4 13. 01. 2014 01:07

Re: Lineární prostory

#5 13. 01. 2014 09:56

Re: Lineární prostory

Zápatí