Matematické Fórum

Kalgys · 14. 01. 2014 10:27

Dobrý den, potřeboval bych jen takový drobný kopanec na nastartování protože netuším, kde začít s důkazem $\text{Nechť } n \in \mathbb{N}, n\ge 2\text{je }(x_1,x_2,...,x_n) \text{ soubor vektorů z V n. T. Pak } \forall l\in N, l<n \text{ platí } \sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{l} x_i + \sum_{i=l+1}^{n} x_i$
prý by to mělo jít s indukcí. Děkuji

Formol · 14. 01. 2014 14:48

↑ Kalgys:
Dobrý den,
první nápad: Asociativita sčítání pro n=3 je axiomem vektorového prostoru, tedy pro n=3 to platí. Pak už stačí si jen představit, že součet n vektorů jde rozdělit na dva dílčí součty, každý takový součet lze pokládat za jeden vektor. Takže součet n vektorů s n+1 vektorem jde vlastně zapsat jako součet tří vektorů...

Kalgys · 14. 01. 2014 15:02

↑ Formol:
Ano o tom jsem také uvažoval, ale nejsem si jistý co důkazem v LNA ještě je a co už důkazem není, také jak to nějak pěkně formálně zapsat, občas mě mrzí, že nejsou všechny důkazy jako na matematické olympiádě/diskrétní matematice

Formol · 14. 01. 2014 15:12

↑ Kalgys:
No, důkazy v algebře jsou někdy tak "očividné", že to skutečně působí dojmem, že nejde o důkaz (a naopak, někdy působí jako dobrý nápad i to, co důkazem není).

Pokud chceš formálně rozepistovat, můžeš si zavést např.:

No a pak jen zkusíš rozepisováním xA a xB a přičtením x_n+1 zleva i zprava ukázat, že pokud je asociativita splněna pro n, může ti xB resp. xA "sežrat" x_n+1, protože momentálně je ve hře jen tolik vektorů, pro které je asociativita splněna.

Hanis · 14. 01. 2014 15:16

Ahoj,

nejsem si jistý, jestli tu větu dobře čtu, ale nemá se to dokazovat indukcí podle l? n je na začátku pevně dané, zvolené.

Kalgys · 14. 01. 2014 15:24

↑ Hanis:
ne n není pevně zvolené, je to část věty o vlastnostech součtu souborů vektorů

Rumburak · 14. 01. 2014 15:52

↑ Kalgys:

Ahoj.

Označme zde symbolem $V(n, l)$ výrok $\sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{l} x_i + \sum_{i=l+1}^{n} x_i$ .
Výrok $V(n, l)$ závisí na dvou přirozených proměných, takže indukční kroky by měly být dva, jeden v proměnné $l < n$
a druhý v proměnné $n$ , tedy jakási "dvojrozměrná indukce".