Matematické Fórum

ao0 · 14. 01. 2014 23:33

Ahoj, jelikož se učim ke zkoušce, tak bych potřeboval poradit s tímto příkladem, zkoušel jsem ho už počítat, ale nějak už mi to nemyslí a nemůžu přijít na řešení :)
"Určete vzájemnou polohu rovin: $\alpha :5x-y-z=-5$ , $\beta :-5x+y=6$ a vyšetřete průnik obou rovin. Pokud existuje neprázdný průnik obou rovin, charakterizujte jej, tj. pokud je průnikem jediný bod, najděte jeho souřadnice, pokud je průnikem přímka nebo rovina, napište jejich rovnici".

normálový vektor $\alpha=(5,-1,-1)$
normálový vektor $\beta=(-5,1,0)$

a tim asi končim :D

Díky předem za všechny rady

Arabela · 15. 01. 2014 00:53

Ahoj ↑ ao0:,
keďže normálové vektory nie sú lineárne závislé, tieto dve roviny určite nie sú rovnobežné (ani totožné). Pre vzájomnú polohu dvoch rovín v priestore zostáva teda jediná možnosť: roviny sú rôznobežné, takže majú spoločnú jedinú priamku. Tvoje úsilie treba teda zamerať na nájdenie parametrického vyjadrenia ich spoločnej priamky (iné ako parametrické vyjadrenie priamky v priestore neexistuje).
Je viac spôsobov, ako parametrické vyjadrenie spoločnej priamky dvoch rôznobežných rovín nájsť...

ao0 · 15. 01. 2014 10:28

Nějak jsme to spočítal, ale nevim, jestli to je takhle správně:
$A[0;y;z]$
$y=6$
$-6-z=-5 \Rightarrow z=-1$
$A[0;6;-1]$

$B[x;0;z]$
$-5x=6 \Rightarrow x=-6/5$
$-6-z=-5 \Rightarrow z=-1$
$B[-6/5;0;-1]$

$u=A-B$
$u=[6/5;6;0]$

parametrické vyjádření

$x=6/5t$
$y=6+6t$
$z=-1$

Jj · 15. 01. 2014 11:39 — Editoval Jj (15. 01. 2014 11:41)

↑ ao0:

Dobrý den,
výsledek je správně - ověříte zkouškou, musí vyhovovat oběma rovnicím rovin.
Ve Vašem příkladě vychází zkouška dobře.

Různou volbou bodů A, B můžete dostat jiné parametrické vyjádření. Čili zkouška.

Třeba řešením soustavy dané rovnicemi rovin dostanete také parametrické vyjádření průsečnice:
5x-y-z=-5
-5x+y=6

Zvolíme za parametr třeba proměnnou x (x = t),
pak
x = t
z = -1
y = 5t + 6
je rovněž parmetrické vyjádření průsečnice - zkouška vyhovuje.
Vektor 'u' je úměrný vektoru (1,5,0) - koeficient 6/5, takže směrové vektory
jsou rovnoběžné. Jen shodou okolností je u obou řešení shodný počáteční
bod A.

Čili parametrická vyjádření téže průsečnice může podle konkrétního postupu
vyjít různě.

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2014 23:33

Vzájemná poloha rovin

#2 15. 01. 2014 00:53

Re: Vzájemná poloha rovin

#3 15. 01. 2014 10:28

Re: Vzájemná poloha rovin

#4 15. 01. 2014 11:39 — Editoval Jj (15. 01. 2014 11:41)

Re: Vzájemná poloha rovin

Zápatí