Matematické Fórum

Ospli · 15. 01. 2014 16:42 — Editoval Ospli (15. 01. 2014 16:43)

Ahoj, chtěl bych poradit s důkazem Heineho věty.

Znění:
Nechť c,A náleží R* a fce f je definovaná na prstencovém okolí bodu c. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní:
(i) $\lim_{x\to c} f(x) = A$
(ii) pro každou posloupnost ( $x_{n}$ ), že $x_{n} \neq c$ , $x_{n} \in D_{f}$ , $\lim_{n \to \infty } x_{n} = c$ platí $\lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = A$

Důkazu (i) => (ii) rozumím, nechápu ale důkaz neg(i) => neg(ii).

Máme
(a) $\exists \varepsilon \forall \delta \exists x:x\in P_{\delta}(c) \land f(x) \notin U_\varepsilon (A)$
Potom pro každé n přirozené existuje
(b) $x_{n} \in P_{\frac{1}{n}}(c): f(x_n) \notin U_\varepsilon (A)$

Ta implikace je přece chybná? Pokud bych označil X jako množinu x, o kterých mluví výrok (a), nemusí platit, že $\exists n: x_n \in X$ a tudíž to ani nic neříká o pravdivosti (b)?

Pozn. Ud(c) je d-okolí bodu c, Pd(c) je prstencové d-okolí bodu c

Brano · 15. 01. 2014 16:52

Ta mnozina $X$ z vyroku (a), by bola zavysla od volby $\delta$ . To co v skutocnosti robis je, ze mas tvrdenie, ze nieco plati pre lubovolne $\delta$ , tak si zvolis jedno konkretne $1/n$ . A to si mozes zvolit pre kazde $n$ a vyrok (a) ti zaruci existenciu nejakeho x-u a to si oznacis $x_n$ .

Ospli · 15. 01. 2014 17:01

↑ Brano: Aha, děkuju :)

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2014 16:42 — Editoval Ospli (15. 01. 2014 16:43)

Důkaz Heineho věty

#2 15. 01. 2014 16:52

Re: Důkaz Heineho věty

#3 15. 01. 2014 17:01

Re: Důkaz Heineho věty

Zápatí