Matematické Fórum

VE3V1 · 24. 01. 2009 14:51

ahoj, mám tu na pondělí několik příkladů z posloupností prosím pokuste se mi je nějak vypočítat - píšu z toho v pondeli pisemku a jsem nahranej :(

1) v aritmetické posl. je dáno
2) v geometrické posl je dáno

- omluvte úpravu :(

1) v aritmetické posloupnosti je dáno :
A8= 10
A21= 23

Určete S32

2) v geometrické posloupnosti je dáno :
A1=-1
q= 2

Určete A10 a S5

Všem děkuju a sorry za tu upravu :(

O.o · 24. 01. 2009 15:01

↑ VE3V1:

Ahoj .),

nahraný, jak píšeš opravdu asi jsi, protože ses na látku ani nepodíval. U té geometrické posloupnosti, když znáš první člen a kvocient, tak už jen dosadíš do vzorce pro n-tý člen a dostaneš desátý člen, součet je také jen dosazení do vzorce.

U té aritmetické posloupnosti ti stačí použít znovu vzorec pro n-tý člen, dostaneš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých (a_1; d), vyřešíš a znovu už máš jen dosazování.

VE3V1 · 24. 01. 2009 15:05

↑ O.o: kdyby si mi prosim mohl napsat vzorec pro ten n-tý člen byl bych fakt rád, díky

O.o · 24. 01. 2009 15:07

↑ VE3V1:

Doporučuji ti projít:

Posloupnost n wikipedii - dole odkaz na arit. a geom. posloupn ;)

VE3V1 · 24. 01. 2009 15:10

↑ O.o:jestli víš prosim řešení napiš mi ho sem - nemám doma sešit a tu látku jsem mesíc neviděl :(

Olin · 24. 01. 2009 15:14 — Editoval Olin (24. 01. 2009 15:15)

Ta jednička je akorát na vzorec
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Takže
$a_8 = a_1 + 7d = 10\nl a_{21} = a_1 + 20d = 23$

Vyřešíš soustavu rovnic s proměnnými $a_1, \, d$ , čímž získáš předpis posloupnosti a pak už jen využiješ vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti
$s_n = \frac n2 (a_1 + a_n)$ .

mikee · 24. 01. 2009 15:18 — Editoval mikee (24. 01. 2009 15:19)

↑ VE3V1:
Pozri, $a_{21} = a_8 + 13d$ , z toho po dosadení $23 = 10 + 13d$ , a teda $d=1$ . Súčet prvých n členov sa počíta podľa vzorca $S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$ , teda potrebujeme poznať členy $a_1$ a $a_{32}$ . Ale $a_1 = a_{21} - 20d = 23 - 20 = 3$ a $a_{32} = a_{21} + 11d = 23 + 11 = 34$ . Potom po dosadení $S_{32} = \frac{3+34}{2} \cdot 32 = \frac{37 \cdot 32}{2} = 592$ .
Podobne sa to robí s geometrickou postupnosťou, len tie vzťahy sú trochu iné :))

VE3V1 · 24. 01. 2009 15:19

ok du to zkusit vyresit, takže díky moc - jeste jestli by si mohl tu geometrickou pls

mikee · 24. 01. 2009 15:23

↑ VE3V1:
A v geometrickej využiješ vzorce $a_{n+k} = a_n \cdot q^k$ a $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ , inak riešenie je v podstate rovnaké :)

Ivana · 24. 01. 2009 15:25

↑ VE3V1:

VE3V1 · 25. 01. 2009 09:18

díky všem za pomoc

Kikča15 · 27. 01. 2009 15:38

Ahojky prosím Vás nepomohl by mi někdo s těma to slovníma úkolama na úrokování střádání a umořovaní dluhů??Nějak mi to pořad nevychazí Děkuji moc

1.) Ve městě je 30 000 obyvatel. Před 30 roky jich bylo 20 000. Za kolik roků vzroste počet
obyvatel v tomto městě na 50 000, počítá - li se s průměrným přírůstkem počtu
obyvatelstva jako v předchozích letech ?
2.) Zemědělské družstvo si vypůjčilo 1 000 000 Kč. Bude splácet ročně po 100 000 Kč. První
splátku zaplatí po roce. Jak dlouho bude dluh splácet a jak velká bude poslední splátka,
je-li úrokování 2,75 % ?

3.) V lese bylo odhadnuto 4 000 m3 dřeva. Jaké množství dřeva bude v lese za 3 roky, jestliže se počítá s ročním přírůstkem 2,2 % a během každého roku se porazí a odveze 200 m3 dřeva?
Návod: Počítejte množství dřeva, které v lese zbude ke konci prvního, druhého a třetího
roku.

lukaszh

↑ Kikča15:
1. Najprv treba určiť prírastok z minulých období. Na takého výpočty (úrokovanie, prírastky obyvateľstva) sa používa známy, neznámy vzťah:
$p_n=p_0(1+p)^n\,;\;n\in\mathbb{N}$
Koeficient p vyjadruje relatívny prírastok. Teda percento/100. Napríklad 25% odpovedá prírastku p = 0,25. p_0 vyjadruje počiatočný stav (obyvateľstva, vkladu na účte) a p_n vyjadruje kvantitu po n - rokoch. Zo zadania vieš, že počiatočný stav bol 20.000 ľudí, konečný stav po 30 rokoch bol 30.000 ľudí. Dosadím a vypočítam relatívnu zmenu:

Teraz vieš prírastok a chceš vypočítať počet rokov n, teda opäť dosadím do rovnakého vzorca:

čo je približne po 37 rokoch.

Ostatné príklady sa počítajú podobnými metódami. Skús si to.

Kikča15 · 27. 01. 2009 18:04

ahojky prosim nepomohl by si mi s tim to jeste me to nejde ¨prosim podle vzorecku Dn=alfa/r na n-tou * r na n-tou - 1 / r-1 děkuji moc
Zemědělské družstvo si vypůjčilo 1 000 000 Kč. Bude splácet ročně po 100 000 Kč. První
splátku zaplatí po roce. Jak dlouho bude dluh splácet a jak velká bude poslední splátka,
je-li úrokování 2,75 % ?

Cheop · 28. 01. 2009 07:54 — Editoval Cheop (28. 01. 2009 08:01)

↑ Kikča15:
Př. 3)
Označme: a - počáteční stav dřeva (4000 m^3)
b - roční těžba (200 m^3)
p - roční přírůstek (2,2 %)
q - kvocient řady q=1+p/100

Po první roce bude dřeva:
a_1= aq-b
Po druhém roce
a_2= a_1q - b = (aq-b)q-b = aq^2- b(q+1)
Po třetím roce
a_3 = a_2q - b = aq^3 - bq^2 - bq - b = aq^3 - b(q^2 + q + 1)

Na konci třetího roku tedy bude dřeva:
$K_s=a\cdot q^3-b(q^2+q+1)$
$q=1+\frac{p}{100}=1+\frac{2,2}{100}\nlq=1,022$
pokud za
q dosadíme q = 1,022
a = 4000
b = 200
pak
Konečný stav dřeva po 3 letech bude přibližně 3657 m^3

Obecně po n letech by vzorec šel upravit na:
$K_s=a\cdot q^n-b\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$

Cheop · 28. 01. 2009 11:41 — Editoval Cheop (28. 01. 2009 11:47)

↑ Kikča15:
Př. 2
Pokud označím
a - výpůjčku (1000000)
b - roční splátku (100000)
n - počet let splácení
p - procento úroku (2,75%)
q - kvocient (q = 1+p/100)

Pak podle předcházejícího příspěvku platí:
$a\cdot q^n-b\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=0$ pokud toto trochu upravíme potom dojdeme:
$q^n=\frac{b}{a+b-a\cdot q}\nln=\frac{\log\left(\frac{b}{a+b-a\cdot q}\right)}{\log\,q}$
Po dosazení za a,b,q dojdeme k výsledku:
$n\,\approx\,11,854\,\textrm{let}$

Splácet budeme přibližně 11 let a 10 měsíců

Teď dopočteme poslední splátku n bude 11 let a ješte nám něco zbyde (ta poslední splátka)
pro n=11
$a\cdot q^n-b\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=10^6\cdot 1,0275^{11}-10^5\cdot\frac{1,0275^{11}-1}{1,0275-1}\,\approx\,83280\,\textrm{Kc}$

Poslední splátka tedy bude 83 280 Kč

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2009 14:51

posloupnosti - zachrante mě :(

#2 24. 01. 2009 15:01

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#3 24. 01. 2009 15:05

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#4 24. 01. 2009 15:07

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#5 24. 01. 2009 15:10

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#6 24. 01. 2009 15:14 — Editoval Olin (24. 01. 2009 15:15)

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#7 24. 01. 2009 15:18 — Editoval mikee (24. 01. 2009 15:19)

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#8 24. 01. 2009 15:19

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#9 24. 01. 2009 15:23

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#10 24. 01. 2009 15:25

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#11 25. 01. 2009 09:18

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#12 27. 01. 2009 15:38

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#13 27. 01. 2009 17:02 — Editoval lukaszh (27. 01. 2009 17:03)

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#14 27. 01. 2009 18:04

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#15 28. 01. 2009 07:54 — Editoval Cheop (28. 01. 2009 08:01)

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

#16 28. 01. 2009 11:41 — Editoval Cheop (28. 01. 2009 11:47)

Re: posloupnosti - zachrante mě :(

Zápatí