Matematické Fórum

ballrok · 28. 01. 2009 11:47

Zdravím,
narazil jsem na tenhle určtý integrál a nemůžu se dostat k výsledku.
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int_{e}^{e^4}\frac{ln^2(x)%2B2ln(x)%2B1}{x(ln^2(x)%2B5ln(x)%2B4)}$

program derive používá substituci, které nerozumím:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{\frac{ln(x)}{x}%2B\frac{1}{x}}{ln(x)%2B4}(dx)$

já jsem si to rozložil a zkrátil na:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int_{e}^{e^4}\frac{ln(x)%2B1}{x(ln(x)%2B4)}(dx)$

a pak jsem zkoušel počítat dál, ale vycházely mi hlouposti.

Výsledek má být:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=3-3ln(\frac{8}{5})$

kdyby se někomu chtělo, budu rád za třeba hrubý postup nebo radu, díky

ballrok · 28. 01. 2009 11:51

↑ ballrok:
když to teď vidím před sebou, tak moje zkrácení odpovídá tomu derive akorát vynásobil čitatel a jmenovatel 1/x, dál ale nevim

jendula11 · 28. 01. 2009 11:57

použil bych substituci $lnx=t$ $dx=e^tdt$
pak to zřejmě povede ještě na jednu substituci

ballrok

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{\frac{ln(x)}{x}%2B\frac{1}{x}}{ln(x)%2B4}(dx)$
horní mez e^4; dolní e

když udělám sub: ln(x)=t
tak jestli jsem přepočítal dobře meze:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=t*\int_{1}^{2}\frac{dt}{t%2B4}%2B\int_{1}^{2}\frac{dt}{t%2B4}$

ale správný výsledek z toho nedostanu

jendula11 · 28. 01. 2009 12:02

$\int \frac{t+1}{e^t*t+4}*e^tdt$
potom dalsi substituce $e^t*t+4=z$

ttopi · 28. 01. 2009 13:08 — Editoval ttopi (28. 01. 2009 13:12)

$\ln(x)=t\nl\frac{dx}{x}=dt$

Pak
$\int\frac{t^2+2t+1}{t^2+5t+4}dt=\int\frac{(t+1)(t+1)}{(t+4)(t+1)}dt=\int\frac{t+1}{t+4}dt=\nl=\int\frac{t+4-3}{t+4}dt=\int1dt-3\int\frac{dt}{t+4}=t-3\ln|t+4|$

Dosadit zpět substituci a dosadit meze.

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2009 11:47

Určitý integrál

#2 28. 01. 2009 11:51

Re: Určitý integrál

#3 28. 01. 2009 11:57

Re: Určitý integrál

#4 28. 01. 2009 11:57 — Editoval ballrok (28. 01. 2009 11:59)

Re: Určitý integrál

#5 28. 01. 2009 12:02

Re: Určitý integrál

#6 28. 01. 2009 13:08 — Editoval ttopi (28. 01. 2009 13:12)

Re: Určitý integrál

Zápatí