Matematické Fórum

Kája2 · 17. 01. 2014 07:10 — Editoval Kája2 (17. 01. 2014 07:16)

Ahoj, mám jen malou otázečku. Mám vyšetřit průběh funkce $f(x) = \sqrt[3]{x^2+\frac{1}{x}}$ . Funkce není definována v bodě 0. První derivace funkce je $f'(x) = \frac{2x^3-1}{3x^2\sqrt[3]{(\frac{x^3+1}{x^2})}}$ . Stacionární bod je $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .A nyní jmenovatel - při zkoumání monotonie budu na osu nanášet i 0 jelikož v ní není definovaná jak funkce, tak její derivace. Ovšem chtěl bych se optat,jak je to s bodem -1, v něm není derivace definovaná, ovšem funkce ano, tak proto ještě počítám limitu z derivace v bodech $-1_{-}$ a $-1_{+}$ ?(Popřípadě, zda je tento tvar pro limitu v těch bodech vhodný).Děkuji za každou radu.

jelena · 17. 01. 2014 09:30

Zdravím,

v tomto případě bych také počítala jednostranné derivace (k (-1) zleva a zprava). Za stacionární bod jsou považovány nulové body derivace a body, ve kterých derivace neexistuje (tedy (-1) do stacionárních bodů patří). Pravděpodobně v takovém bodě bude mít funkce hrot (nebo něco podobného) - vychází tak? Děkuji.

Jj · 17. 01. 2014 09:47

↑ Kája2:

Dobrý den, jen podotknu, že v derivaci asi máte překlep (pod odmocninou ve jmenovateli).
Řekl bych, že by měla být:

$f'(x) = \frac{2x^3-1}{3x^2\sqrt[3]{(\frac{x^3+1}{x})^2}}$

Rumburak

↑ Kája2:
Ahoj.

Pouze technické doporučení:
Položíme-li $g(t) := \sqrt[3]{t} , h(x) := x^2+\frac{1}{x}$ , potom $f(x) := \sqrt[3]{x^2+\frac{1}{x}} = g(h(x))$ .

O funkci $g$ víme, že je rostoucí v $\mathbb{R}$ , tudíž funkce $f$ bude mít co do monotonie analogický průběh průběh jako funkce $h$ ,
takže příslušné kalkulace s derivací možno provádět rovnou pro jednodušší funkci $h$ .

Pro vyšetřování konvexnosti (respp. konkávnosti) i asymptot v plus-minus nekonečnu by však však toto zjednodušení nefungovalo.

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2014 07:10 — Editoval Kája2 (17. 01. 2014 07:16)

Průběh funkce

#2 17. 01. 2014 09:30

Re: Průběh funkce

#3 17. 01. 2014 09:47

Re: Průběh funkce

#4 17. 01. 2014 10:21 — Editoval Rumburak (17. 01. 2014 10:24)

Re: Průběh funkce

Zápatí