Matematické Fórum

Letmery.Ondarex · 17. 01. 2014 17:14

Ahoj,

poradil by mi někde, jak by se řešil příklad níže? Stačí alespoň nakoupnout, jak mám začít. Předem děkuji.

Modul je složen ze 100 prvků. Intenzity poruch všech prvků jsou shodné $\lambda _{prvku} = 10^{-6} hod^{-1}$ . Porucha každého prvku znamená poruchu celého modulu. Určete:

a) Číselně výslednou intenzitu poruch celého modulu
b) Přibližně pravděpodobnost, že (právě teď) "zdravý" modul "přežije" ještě dalších 24 hodin činnosti (není třeba řešit žádné složité rovnice).

KennyMcCormick · 18. 01. 2014 16:44

a)
$\lambda_{\text{modul}}=100\cdot\lambda_{\text{prvek}}=10^{-4}\:\text{hod}^{-1}$

b)
Nechť $X$ je počet poruch modulu.

$\lambda=24\lambda_{\text{modul}}=24\cdot10^{-4}$
$P(X=0)=\frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}=\frac{(24\cdot10^{-4})^0e^{-24\cdot10^{-4}}}{0!}\doteq99,76\%$

OK?

Letmery.Ondarex · 18. 01. 2014 17:23

↑ KennyMcCormick:

Děkuji za pomoc.

Řešení a) chápu. U toho b) ale nechápu, proč je použit ten vzorec:
$\frac{\lambda ^{0}e^{-\lambda }}{0!}$

KennyMcCormick · 18. 01. 2014 18:59

To je pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení pro $k=0$ (protože nás zajímá 0 poruch).

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_di … Definition

OK?

Letmery.Ondarex

↑ KennyMcCormick:

Aha :-) Děkuji moc!

EDIT: Možná bych se ještě zeptat, jak by se změnil výpočet, kdyby v zadání bylo, že porucha jednoho prvku znamená poruchu celku (ne porucha každého)?

KennyMcCormick

Aha, promiň, pochopil jsem tvůj první dotaz jako
$\forall \text{prvek}:\text{Rozbije se prvek}\Rightarrow\text{Rozbije se celý modul}$ , takže to, na co se ptáš, jsem už spočítal.

Kdybychom tedy chtěli počítat úlohu s tím, že se k poruše modulu musejí porouchat všechny prvky, což je to, co jsi chtěl spočítat už od začátku, udělali bychom to takhle:

Označím lambda prvku jako $\lambda$ . Pravděpodobnost, že po $t$ hodinách prvek ještě nebude porouchaný, je
$P(t)=\frac{(\lambda t)^0e^{-\lambda t}}{0!}=e^{-\lambda t}$ .

Tj. pravděpodobnost, že se nejpozději po $t$ hodinách prvek porouchá, je
$P_{\text{porucha prvku}}(t)=1-e^{-\lambda t}$ .

Aby se porouchal modul nejpozději po $t$ hodinách, musejí být nejpozději po $t$ hodinách porouchané všechny prvky. Protože jsou poruchy prvků na sobě nezávislé, platí
$P_{\text{porucha modulu}}(t)=[P_{\text{porucha prvku}}(t)]^{100}=(1-e^{-\lambda t})^{100}$ .

Tzn. pravděpodobnost, že po $t$ hodinách modul ještě nebude porouchaný, je
$P_{\text{modul neporouchán}}(t)=1-(1-e^{-\lambda t})^{100}$ .

Pravděpodobnost, že po 24 hodinách modul ještě nebude porouchaný, je
$P_{\text{modul neporouchán}}(24)=1-(1-e^{-10^{-6}\cdot24})^{100}\doteq100\%$ .

Co se týče části a), tj. výsledná intenzita poruch celého modulu:
Pravděpodobnost, že po jedné hodině modul ještě nebude porouchaný, je
$P_{\text{modul neporouchán}}(1)=1-(1-e^{-\lambda})^{100}$ .

Tato pravděpodobnost se zároveň rovná
$P_{\text{modul neporouchán}}(1)=\frac{\lambda_{\text{modul}}^0e^{-\lambda_{\text{modul}}}}{0!}=e^{-\lambda_{\text{modul}}}$ .

Rovnice pro výpočet $\lambda_{\text{modul}}$ tedy bude
$e^{-\lambda_{\text{modul}}}=1-(1-e^{-\lambda})^{100}$
$\lambda_{\text{modul}}=-\ln[1-(1-e^{-\lambda})^{100}]$
$\lambda_{\text{modul}}=-\ln[1-(1-e^{-10^{-6}})^{100}]\doteq10^{-600}\:\text{hod}^{-1}$ .

Je to jasný?

Letmery.Ondarex · 19. 01. 2014 19:59

↑ KennyMcCormick:

Aha, jo je mi to jasný, ale přiznám se, že si teď nejsem jistý, jak mám to zadání správně chápat (porucha "každého" prcku znamená poruchu celého modulu). Máme tam ještě poznámku, že není třeba řešit žádné složité rovnice, tak to vypadá spíše na to první řešení (přijde mi jednodušší).

KennyMcCormick · 21. 01. 2014 02:47

Druhé řešení je jen o málo obtížnější než to první.

Radši použij obě řešení a připiš k tomu, že správná odpověď zavisí na interpretaci zadání.

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2014 17:14

Intenzita poruch - pravděpodobnost

#2 18. 01. 2014 16:44

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

#3 18. 01. 2014 17:23

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

#4 18. 01. 2014 18:59

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

#5 18. 01. 2014 19:27 — Editoval Letmery.Ondarex (18. 01. 2014 19:32)

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

#6 19. 01. 2014 10:27 — Editoval KennyMcCormick (19. 01. 2014 10:32)

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

#7 19. 01. 2014 19:59

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

#8 21. 01. 2014 02:47

Re: Intenzita poruch - pravděpodobnost

Zápatí