Matematické Fórum

Zlatohlavok · 17. 01. 2014 10:46

Ahojte, môžete mi niekto prosím vysvetliť, podla čoho určujeme hranice sumy pri rekurentných rovniciach?

Určiť substitúciu viem, aj ďalej to počítať, akurát v sume nechápem podla čoho sa odhadujú jej hranice.

Mám tu 4 vypočítané príklady na ukážku.

Ďakujem pekne

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/51879_Sn%25C3%25ADmka%2Bobrazovky%2B2014-01-17%2Bo%25C2%25A010.38.29.png

Rumburak

↑ Zlatohlavok:

Ahoj. Populárně řečeno:

Symbol $\sum_{k = a}^{b}f(k)$ pro celá čísla $a, b$ splňující $a < b$ je zkrácený zápis součtu $f(a) +f(a + 1) + ... + f(b)$ .

Dále klademe $\sum_{k = a}^{a}f(k) = f(a)$ a $\sum_{k = a}^{b}f(k) = 0 \text{pokud} b < a$ .

Sumační proměnnou můžeme označit i jinak než $k$ , pokud by nedocházelo k nějaké významové kolisi . Takže například

$4 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3^3 + 8 \cdot 3^4 + 10 \cdot 3^5 + 12 \cdot 3^6 + 14 \cdot 3^7 = \sum_{p=2}^7 2p\cdot 3^p = \sum_{\alpha=2}^7 2\alpha\cdot 3^{\alpha}$

a pod.

Zlatohlavok

Ďakujem za odpoveď, no z tohoto to nevime napasovať na moje príklady :(
Môžeš mi to prosím nejako polopate, najlepšie na tých príkladoch čo som uviedol, nech to z toho pochopím?

Napríklad v tom prvom príklade čo som uviedol, dostaneme sa do tohoto bodu
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/71353_Sn%25C3%25ADmka%2Bobrazovky%2B2014-01-17%2Bo%25C2%25A016.08.25.png

prečo potom začíname sumu počítať od 0 po práve n-1 ? Kde z tej rovnice vyčítam, že sa ide práve od 0 a práve po n-1?

Ďakujem pekne.

Rumburak · 17. 01. 2014 17:05

Koukni se hned na ten v pořadí první příklad , kde je to v kroku 3 vysvětleno názorně, ovšem ne zcela správně pokud jde o použití proměnných.
Vychází se z rovnice

(0) $y_{n+1}= y_n + \frac{3n-5}{3^{n+1}}$

platné pro libovolné $n = 0, 1, 2, ...$ , která je odvozena v předchozím kroku.

Další postup vysvětlím ještě poněkud jinak. Rovnici (0) přepišme do tvaru

(1, n) $y_{n+1} - y_n = \frac{3n-5}{3^{n+1}}$ .

Důležitým kokem při řešení takovýchto difernečních rovnic bývá vyjádřit pro libovolné $k = 0, 1, 2, ...$ rozdíl $y_k - y_0$ .
Ten ale můžeme zapsat jako

(2) $(y_{1} - y_0) + (y_{2} - y_1) + ... + (y_{k} - y_{k-1})$ .

Označíme-li levou stranu v (1, n) symbolem $\Delta y_{n}$ , pak součet v (2) můžeme psát ve tvaru

$\Delta y_{0}+ \Delta y_{1} + ... + \Delta y_{k-1}$ , tedy $\sum_{n=0}^{k-1}\Delta y_{n}$ .

Dosadíme-li ještě za $\Delta y_{n}$ pravou stranu z (1, n), máme celkem

$y_k - y_0 = \sum_{n=0}^{k-1}\Delta y_{n}= \sum_{n=0}^{k-1} \frac{3n-5}{3^{n+1}}$ .

Vytknout před tu finální sumu 1/3 jistě nebude problém.

Zlatohlavok · 17. 01. 2014 18:37

No dobre dajme tomu, teda keď mám nalavo yn+1 = yn + .... , tak prehodím yn na lavú stranu a keď mám tento tvat, tak suma ide od 0 po k-1, dá sa to takto zovšeobecniť?

Lenže keď sa tak dívam na posledný príklad čo som uviedol, tak tam sachujú s dolnou hranicou, raz je tam od 1 , pootm zase od 0 , potom zas nakonci kde už dosádza 1/3 je znova j=1. Pritom by to mal byť tento istý tvar yn+1 = yn + .... , teda mala by ísť suma od 0.

2. príklad, ktorý som pridal. Nemôže ísť suma aj po napr n+1? Či to je v týchto úlohách obmedzené na max po "n"?

Ďakujem

Rumburak

↑ Zlatohlavok:

U sumy je možno provádět substituci v sumačním indexu (tj. v sumační proměnné):

$\sum_{k = a}^{b}f(k) = \sum_{j = a+P}^{b+P}f(j-P)$ (substituce $k = j - P$ )

a ve výsledku mohu index $j$ nahradit znovu indexm $k$ , jehož rozsah ale bude teď jiný než u "původního" $k$ .
Sumační index má platnost pouze v rámci té které konkretní sumy.

Pokud někdy nebudeš mít jistotu, zda je suma oindexována správně, tak si zkus vypsat její první a poslední člen,
případně i několi členů dalších.

K poslednímu dotazu, pokud jem ho právně pochopil:
To "n" je proměnná probíhající celou číselnou množinu { 0, 1, 2, ... } a rovněž číslo n+1 patří do této množiny.
Platí-li pro libovolné takové n např. výrok

V(n) $y_n = y_0 + \sum_{j=0}^{n-1} \frac{3j-5}{3^{j+1}}$ ,

potom platí také výrok

V(n+1) $y_{n+1} = y_0 + \sum_{j=0}^{n} \frac{3j-5}{3^{j+1}}$

atd .

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2014 10:46

Rekurentné rovnice

#2 17. 01. 2014 11:22 — Editoval Rumburak (17. 01. 2014 12:58)

Re: Rekurentné rovnice

#3 17. 01. 2014 16:07 — Editoval Zlatohlavok (17. 01. 2014 16:09)

Re: Rekurentné rovnice

#4 17. 01. 2014 17:05

Re: Rekurentné rovnice

#5 17. 01. 2014 18:37

Re: Rekurentné rovnice

#6 18. 01. 2014 13:16 — Editoval Rumburak (18. 01. 2014 13:17)

Re: Rekurentné rovnice

Zápatí