Matematické Fórum

stereo-total-music

Zdravím,
hledám matematický důkaz, který dokazuje, že všechny možné součty prvků binární soustavy (1,2,4,8,16,32,64,128) vyplňují celou množinu {0,1,2,...,256} (tedy že součtem nějakých prvků můžeme dostat každé číslo z množiny). Jak jde formulovat matematický důkaz pro kombinační možnosti? Tuším že indukcí, ale nevím jak.
Díky.

vanok · 18. 01. 2014 22:17

Ahoj ↑ stereo-total-music:,
Zial to nie je pravda.
Mozes napisat vsetki sucty od 0 az do 255 tak oko pises, ale 256 sa neda takto napisat.
Dokazes to vdaka vlasnostiam o vyjadreni binarnych cisiel. ( alebo este aj vdaka suctom geometrickych rad)

Freedy · 18. 01. 2014 22:31

Když máš čísla $2^n, n\in \mathbb{N^{0}}$
Tak pochopitelně lze ukázat že:
$2^n-1=2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}...2^{n-n}$

Všeschny čísla lze zapsat jen pomocí čísel vzniklých z mocniny dvojky. Když máš například 31 tak je to 1 + 2 + 4 + 8 + 16. Stejně tak u všech jinejch čísel. 256 součtem 1 2 4 8 16 32 64 128 nedostaneš. Dostaneš maximálně 255.

stereo-total-music

↑ vanok:
Jasně, 256 tam už nepatří.

↑ Freedy:
$2^n-1=2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}...2^{n-n}$
No jo, platnost toho vztahu jde pro všechna (n∈N) dokázat indukcí (indukcí (n+1) vyjde ten stejný vztah). A z toho teda vyplývá, že jde-li pro nějaké (n∈N) vyjádřit všechna přirozená čísla, tak to samé platí pro libovolné (n∈N), přičemž největší vyjádřené přirozené číslo je (-1+2^n).

A stejným principem by asi šlo dokázat, že tohle platí pouze pro posloupnost se základem (2), pro posloupnost ve tvaru (n-1,n-2,...,n-n) atd., ale nikoliv že tohle je jediná platná posloupnost.

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2014 17:12 — Editoval stereo-total-music (18. 01. 2014 20:42)

Matematický důkaz pro součty čísel binární soustavy

#2 18. 01. 2014 22:17

Re: Matematický důkaz pro součty čísel binární soustavy

#3 18. 01. 2014 22:31

Re: Matematický důkaz pro součty čísel binární soustavy

#4 19. 01. 2014 13:53 — Editoval stereo-total-music (19. 01. 2014 20:10)

Re: Matematický důkaz pro součty čísel binární soustavy

Zápatí